Сколько существует способов выбрать 4 яблока из 10

3.Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех лимонов и девяти апельсинов? (Мы считаем, что фрукты одного вида неразличимы.)

Решение задачи:

Т.к. фрукты одного вида неразличимы, то существует один способ взять одно яблоко, один способ взять 2 яблока, один способ взять три яблока и т.д., т.е. всего семь способов выбрать несколько яблок (несколько – это не менее одного). Необходимо также прибавить один способ не взять ни одного яблока. Следовательно, существует 8 способов взять яблоки. Аналогично существует 5 способов выбрать лимоны и 10 способов выбрать апельсины. Следуя принципу умножения, получим все способы отбора фруктов: 7 5 10. Но среди этих способов существует один способ, когда не выбирается ни один фрукт. Следовательно, решением данной задачи будет следующее выражение: 7 5 10 – 1 = 349.

Задача 1. На подносе лежат 5 яблок и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать фрукт с подноса?

Решение: Яблоко можно выбрать пятью способами. Грушу - тремя. Стало быть, один из этих фруктов можно выбрать 5 + 3 = 8 способами.

Задача 2. На полке стоит 10 томов Пушкина, 4 тома Лермонтова и 6 томов Гоголя. Сколькими способами можно выбрать с полки 1 книгу?

Решение: 10 + 4 + 6 = 20 способами.

Задача 3. В магазине есть 7 видов пиджаков, 5 видов брюк и 4 вида галстука. Сколькими способами можно купить комплект из пиджака, брюк и галстука?

Решение: Предположим, что пиджак уже выбран (это можно сделать 7 способами). К пиджаку выбираем брюки 5 способами. Итого пару (пиджак, брюки) можно выбрать 7 х 5 способами. К этой паре можно купить галстук 4 способами. Следовательно, для покупки пиджака, брюк и галстука имеется

7 х 5 х 4 = 140 способов.

Задача 4. Сколько подмножеств у 5-элементного множества? У n-элементного?

Решение: Пусть имеется множество из 5 элементов A = 1,a_2,a₃,a₄,a₅>. Каждому его подмножеству B можно дать уникальное имя в виде в виде упорядоченной пятёрки нулей и единиц по следующему правилу: если на i-й позиции стоит единица, то a_i ? B; если же на i-й позиции пятёрки стоит нуль, то a_i ? B.

Например, пятёрка 10010 обозначает подмножество 1,a₄,>. Пятёрки 00000 и 11111 обозначают соответственно пустое множество и само множество A.

Таким образом, у множества A имеется ровно столько подмножеств, сколько существует упорядоченных пятёрок из нулей и единиц. Каждую позицию пятёрки можно заполнить двумя способами (0 или 1), поэтому таких пятёрок 2 х 2 х 2 х 2 х 2 = 2 5 = 32. Это и есть число подмножеств 5-элементного множества.

Для n-элементного множества рассуждение аналогично. Каждое его подмножество получает уникальное имя (по тому же правилу) в виде цепочки длины n, состоящей из нулей и единиц. Всего таких цепочек 2 n . Следовательно, число всех подмножеств n-элементного множества равно 2 n .

Размещения с повторениями

Задача 5. Сколькими способами можно m различных шаров в n различных ящиков? На число шаров в ящике ограничений нет.

Решение: Представим себе m клеток (это шары). В каждую клетку можно вписать любое число от 1 до n (номер ящика, в который кладётся шар). Всего получится n m всевозможных способов заполнить клетки, то есть разложить шары по ящикам.

Число разложений m различных шаров по n различным ящикам (без ограничений шаров в ящике) называется иногда числом размещений с повторениями из n по m и обозначается , и это обозначение равно n m .

В работе приводится теоретический материал для решения задач по теории вероятностей, подобраны тренировочные задачи.Дан подробный разбор наиболее сложныз задач из открытого банка заданий по прфильной математике.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Курсовая работа

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, КОМБИНАТОРИКИ И СТАТИСТИКИ

Выполнила:учитель математики

лицея при УлГТУ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ……………………………………4

1.2. Классическое определение вероятности…………………….6

1.3. Геометрическое определение вероятности…………………-

1.5. Условные вероятности. Вероятность произведения

1.6.Формула полной вероятности……………………………….11

2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ……………………………………12

3.ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ………………………………. 21

4.ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ………………………………….28

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

Впервые задача по теории вероятностей появилась в ЕГЭ в 2012 году. Появление такой задачи потребовало включения в раздел математики средней школы изучение элементов теории вероятностей и комбинаторики. Ранее этот раздел входил в программу углубленного изучения математики. Задачи по теории вероятностей сначала вызывали большие затруднения. Сложно было и учителям. Пособий для отработки заданий, методических рекомендаций для школьников было мало.

Сейчас положение изменилось. Простые задачи по теории вероятностей включены и в ОГЭ, ученики привыкли и не боятся, как правило этой задачи. Однако, сложность задач , представленных в базе данных по ЕГЭ растет. Иногда встречаются задачи, вызывающие затруднение и у учителей. В тексте задачи встречаются лишние условия, которые запутывают ученика. Также могут встретиться завуалированные условия, увидеть которые могут не сразу.

Постепенно в пособиях по ЕГЭ появляются формулы и теоремы, которые ранее не были в школьном курсе, но они значительно облегчают решение задачи. Формулы Бернулли и полной вероятности ученики вполне усваивают, что часто упрощает решение.

В работе приведены краткие теоретические сведения по теории вероятностей, комбинаторике и математической статистике в том разрезе, который нужен для решения задач ЕГЭ. Приведены примеры решения задач. Подобраны задачи для самостоятельного решения.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Основные понятия

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям.

Цель теории вероятностей – осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, ограничение сферы действия случайности.

Пусть проводится некоторый опыт, исход которого заранее нельзя предсказать. При этом рассматриваются только такие закономерности, которые можно повторять, хотя бы теоретически, при неизменном комплексе условий произвольное число раз.

Случайным событием (или просто событием) называется любой исход опыта, который может произойти. Непосредственные исходы опыта называются элементарными событиями и обозначаются – это неразложимые и взаимоисключающие исходы этого опыта .Элементарные события называются также случаями, точками, элементами, исходами.

Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий (ПЭС) и обозначается Ω=.Событие называется достоверным (обозначается также символом Ω), если оно обязательно наступит в результате данного опыта и невозможным ( если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита A, B,C. Событие A – любое подмножество множества Ω ().

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте. В противном случае события называются совместными. События называются попарно несовместными, если любые два из ниx несовместны. Несколько событий образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и в результате опыта происходит одно и только одно из них.

Суммой событий A и B называется событие C = A+B, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Произведением событий A и B называется событие , состоящее в совместном наступлении этих событий. События A и B называются несовместными, если .

Противоположным событию A называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

Событие A влечет событие B , если из того, что происходит событие A , следует, что происходит событие B ().

События и действия над ними можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна: достоверное событие Ω обозначается прямоугольником, элементарные случайные события –точками прямоугольника, случайные события – областью внутри него.

Несколько событий образуют полную группу событий, если их сумма представляет все пространство элементарных событий, а сами события являются несовместными:

Например, – полная группа событий.

Классическое определение вероятности

Пусть производится опыт с n исходами, которые можно представить в виде полной группы несовместных равновозможных событий. Такие исходы называют случаями, шансами. Случай w, который приводит к наступлению события A, называют благоприятным ему, т.е. случай w влечет событие A:

В этих опытах вероятность события A можно рассчитать по формуле:

Где m – число случаев, благоприятствующих событию A, n – общее число всех случаев в данном опыте. Вероятность P(A) обладает следующими свойствами:

P(A+B) = P(A)+ P(B), если .

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности применяется в том случае, когда исходы опыта равновозможны, а Ω (ПЭС) – бесконечное несчетное множество. Множество является несчетным, если его элементы нельзя пронумеровать с помощью множества N. Пример несчетного множества: наблюдаем за временем безотказной работы некоторого агрегата – t (t, . Исходов у опыта бесконечно, Ω –несчетно.

В области Ω случайно выбирается точка X (бросаем X в область D). При этом попадание точки в область Ω –достоверное событие, в область D – случайное. Предполагаем, что все точки области Ω– равноправны (все элементарные события равновозможны). Вероятность попадания в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы. Пусть , т.е. брошенная точка попадет в область D. Геометрической вероятностью события A называется отношение площади области D к площади области Ω.

.

Если Ω– линейная область, то

,

где –длина области D, –длина всей области Ω.

Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами классической вероятности.

1.4.Элементы комбинаторики

Комбинаторика –раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам.

В классическом определении вероятности события ,

m – число благоприятствующих ему исходов. Требуется найти число возможных вариантов осуществления некоторого действия. При этом бывают полезны правила суммы и умножения.

Правило суммы: если некоторый объект x можно выбрать способами, а объект y можно выбрать способами, причем первые и вторве способы не пересекаются, то любой из указанных объектов можно выбрать способами.

Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект можно выбратьспособом, а после каждого такого выбора второй объект можно выбрать , то оба объекта в указанном порядке можно выбрать способами.

При решении вероятностных задач часто требуется узнать: сколькими способами можно выбрать m элементов из n различных элементов рассматриваемого множества.

Существуют две схемы выбора:без возвращения(без повторений) и с возвращением (с повторениями).В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно: можно сразу отобрать m элементов или последовательно отбирать по одному.

Схема выбора без возвращения

Размещением из n элементов по m элементов ( называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов. Число таких комбинаций находится по формуле:

или .

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов. Перестановки- это комбинации, состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Количество таких комбинаций определяется по формуле:

Сочетанием из n элементов по m элементов ( называется любое подмножество, которое содержит m элементов данного множества. Сочетания – это комбинации, каждая из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов, которые отличаются только составом элементов. Число таких комбинаций определяется формулой:

.

Схема выбора с возвращением

Размещения с повторением могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов:

.

Например, число комбинаций ,=9 , перечислим их:

,

Перестановки с повторениями из n элементов данного множества могут отличаться числом повторений каждого элемента. Их количество определяется формулой:

) =.

Сочетания с повторениями могут также содержать одинаковые элементы. Их количество находят по формуле:

.

1.5.Условные вероятности. Вероятность произведения событий

Пусть A и B – два события в данном опыте. Наступление одного события может влиять на наступление другого. Условной вероятностью называется вероятность события A при условии, что событие B произошло и обозначается P(A|B):

P(A|B) =

Вероятность произведения событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого события:

P(.

P(= P(

Событие A называется независимым от события B, если появление его условная вероятность равна безусловной:

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности другого. Для независимых событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

P(A,

Вероятность суммы событий

Если события A и B несовместны (A), то вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий:

Для совместных событий вероятность суммы двух событий определяется по формуле:

1.6.Формула полной вероятности

Пусть события образуют полную группу событий, т.е. , i. Пусть событие A может произойти только вместе с каким-то из событий . Тогда

События называются гипотезами – это всевозможные предположения относительно исходов как бы первого этапа опыта, A – один из возможных исходов второго этапа. P(A) – полная вероятность события A.

1.7.Формула Бернулли

Пусть производится последовательность испытаний, то есть опыт повторяется многократно при данном комплексе условий. Пусть вероятность наступления некоторого события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Такие испытания называются независимыми. Примерами независимых испытаний является подбрасывание монеты n раз, стрельба по мишени без поправок, вынимание шаров, если шары после просмотра возвращаются назад. При каждом испытании событие A может произойти с вероятностью p или не произойти с вероятностью q =1–p.

Вероятность того, что событие A произойдет m раз определяется по формуле Бернулли:

1.8.Частота события

Чтобы найти вероятность, нужно количество благоприятных исходов разделить на общее количество исходов. Точно так же находится и частота события В чем же отличие? Вероятность – это прогнозируемая величина, а частота – констатация состоявшегося факта.

Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Чтобы найти моду, надо упорядочить числа по возрастанию. Если определенное значение входит в выборку несколько раз, при упорядочении чисел не забудьте записать это число столько раз, сколько оно повторяется в выборке. Найдите число, которое встречается наиболее часто. Такое число является модой выборки. Помните, что у выборки может быть несколько мод или ни одной моды.

Медиана –– это такое число выборки, при котором половина значений выборки больше него, а другая половина меньше. Чтобы найти медиану надо упорядочить числа по возрастанию, записывая число столько раз, сколько оно встретилось. Затем находим число посредине полученного ряда. Если числовой ряд включает четное количество чисел, вычислите среднее арифметическое двух чисел, расположенных посередине выборки.

Например, дан числовой ряд 0,1,2,3. Посредине числа 1 и 2. Медиана будет равна 1,5.

Примеры решения задач

Задача 1. . В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение: Определим данные для расчета: n – это общее количество младенцев, в нашем случае, n =5000, m – это количество рождающихся девочек. Так как в условии задачи дано количество мальчиков, надо найти количество девочек, вычтя число мальчиков из общего числа младенцев. m=5000-2512=2488. Теперь найдем саму частоту: =2488\5000 = 497,6 1000 0,498=0,4976

Задачи по статистике для самостоятельного решения

1. В некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев 1237 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

2. Найдите среднее арифметическое ряда чисел 2, 5, 15, 7, 3, 6,4.

3. Найдите медиану ряда чисел 23, 18, 38, 11, 6, 42, 123, 4.

4.Найдите моду ряда чисел 7, 8, 9, 8, 7, 6, 5, 6, 7.

5.В классах 9 "А" и 9 "Б" провели медицинское обследование. При этом измерили вес учеников (с точностью до 5 кг). Результаты предоставлены в таблице:

Данная методическая разработка содержит уроки по темам "Правила суммы и произведения", "Размещения, сочетания и перестановки" и задачи по данным темам с решениями. Разработка может быть использована как при дистанционной. так и при очной форме обучения.

Содержимое разработки

Методическая разработка

Организация дистанционного изучения темы

Мартусевич Татьяна Олеговна

Правила суммы и произведения

Теоретическая часть

В пов­седнев­ной жиз­ни не­ред­ко встре­ча­ют­ся за­дачи, ко­торые име­ют нес­колько раз­личных ва­ри­ан­тов ре­шения. Что­бы сде­лать пра­вильный вы­бор, важ­но не про­пус­тить ни один из них. Для это­го на­до уметь осу­щест­влять пе­ребор всех воз­можных ва­ри­ан­тов или под­счи­тывать их чис­ло.

Запишите тему: Элементы комбинаторики

Запишите определение: Задачи, в которых требуется осуществить перебор всех возможных вариантов решения или подсчитать их число называются комбинаторными.

Об­ласть ма­тема­тики, в ко­торой изу­ча­ют ком­би­натор­ные за­дачи, на­зыва­ет­ся ком­би­нато­рикой.

Ком­би­нато­рика воз­никла в XVI в., и пер­во­начально в ней рас­смат­ри­вались ком­би­натор­ные за­дачи, свя­зан­ные в ос­новном с азар­тны­ми иг­ра­ми.

В про­цес­се изу­чения та­ких за­дач бы­ли вы­рабо­таны не­кото­рые об­щие под­хо­ды к их ре­шению, по­луче­ны фор­му­лы для под­сче­та чис­ла раз­личных ком­би­наций.

Запишите правило суммы:

Прочитайте пример задачи с решением, кратко запишите этот пример в тетрадь (рассуждения записывать не надо).

За­дача 1. На та­рел­ке ле­жат 5 яб­лок и 4 апельси­на. Скольки­ми спо­соба­ми мож­но выб­рать один плод?

Запишите пра­вило ум­но­жения:

Ес­ли объект a мож­но выб­рать m спо­соба­ми, а объект b − k спо­соба­ми, то па­ру (a, b) мож­но выб­рать mk спо­соба­ми.

Прочитайте примеры задач с решением, кратко запишите 2,4,5,6 задачи в тетрадь (рассуждения записывать не надо, только краткое условие и решение).

За­дача 2. На та­рел­ке ле­жат 5 яб­лок и 4 апельси­на. Скольки­ми спо­соба­ми мож­но выб­рать па­ру пло­дов, сос­то­ящую из яб­ло­ка и апельси­на?

Ре­шение. По ус­ло­вию за­дачи, яб­ло­ко мож­но выб­рать пятью спо­соба­ми, апельсин — че­тырьмя. Так как в за­даче речь идет о вы­боре па­ры (яб­ло­ко, апельсин), то ее, сог­ласно пра­вилу ум­но­жения, мож­но выб­рать 5 ⋅ 4 = 20 спо­соба­ми.

За­дача 3. Сколько все­го двуз­начных чи­сел мож­но сос­та­вить из цифр 7, 4 и 5 при ус­ло­вии, что они в за­писи чис­ла не пов­то­ря­ют­ся?

Ре­шение. Что­бы за­писать двуз­начное чис­ло, на­до выб­рать циф­ру де­сят­ков и циф­ру еди­ниц. Сог­ласно ус­ло­вию, на мес­те де­сят­ков в за­писи чис­ла мо­жет быть лю­бая из цифр 7, 4 и 5. Дру­гим сло­вами, выб­рать циф­ру де­сят­ков мож­но тре­мя спо­соба­ми. Пос­ле то­го как циф­ра де­сят­ков оп­ре­деле­на, для вы­бора циф­ры еди­ниц ос­та­ет­ся две воз­можнос­ти, пос­кольку циф­ры в за­писи чис­ла не дол­жны пов­то­ряться. Так как лю­бое двуз­начное чис­ло — это упо­рядо­чен­ная па­ра, сос­то­ящая из циф­ры де­сят­ков и циф­ры еди­ниц, то ее вы­бор, сог­ласно пра­вилу ум­но­жения, мож­но осу­щес­твить шестью спо­соба­ми (3 ⋅ 2 = 6).

Пра­вила сло­жения и ум­но­жения, сфор­му­лиро­ван­ные для двух объек­тов, мож­но обоб­щить и на слу­чай t объек­тов.

За­дача 4. Сколько трех­знач­ных чи­сел мож­но сос­та­вить, ис­пользуя циф­ры 7, 4 и 5?

Ре­шение. В дан­ной за­даче рас­смат­ри­ва­ют­ся трех­знач­ные чис­ла. Так как циф­ры в за­писи этих чи­сел мо­гут пов­то­ряться, то циф­ру со­тен, циф­ру де­сят­ков и циф­ру еди­ниц мож­но выб­рать тре­мя спо­соба­ми каж­дую. Пос­кольку за­пись трех­знач­но­го чис­ла пред­став­ля­ет со­бой упо­рядо­чен­ный на­бор из трех эле­мен­тов, то, сог­ласно пра­вилу про­из­ве­дения, его вы­бор мож­но осу­щес­твить 27 спо­соба­ми, так как 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27.

За­дача 5. Сколько все­го че­тырех­знач­ных чи­сел мож­но сос­та­вить из цифр 0 и 3?

Ре­шение. За­пись че­тырех­знач­но­го чис­ла пред­став­ля­ет со­бой упо­рядо­чен­ный на­бор (кор­теж) из че­тырех цифр. Пер­вую циф­ру — циф­ру ты­сяч — мож­но выб­рать только од­ним спо­собом, так как за­пись чис­ла не мо­жет на­чинаться с ну­ля. Циф­рой со­тен мо­жет быть ли­бо ноль, ли­бо три, т. е. име­ет­ся два спо­соба вы­бора. Столько же спо­собов вы­бора име­ет­ся для циф­ры де­сят­ков и циф­ры еди­ниц.

Итак, циф­ру ты­сяч мож­но выб­рать од­ним спо­собом, циф­ру со­тен — дву­мя, циф­ру де­сят­ков — дву­мя, циф­ру еди­ниц — дву­мя. Что­бы уз­нать, сколько все­го че­тырех­знач­ных чи­сел мож­но сос­та­вить из цифр 0 и 3, сог­ласно пра­вилу ум­но­жения, спо­собы вы­бора каж­дой циф­ры на­до пе­рем­но­жить: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8.

Та­ким об­ра­зом, име­ем 8 че­тырех­знач­ных чи­сел.

За­дача 6. Сколько трех­знач­ных чи­сел мож­но за­писать с по­мощью цифр 0, 1, 3, 6, 7 и 9, ес­ли каж­дая из них мо­жет быть ис­пользо­вана в за­писи только один раз?

Ре­шение. Так как за­пись чис­ла не мо­жет на­чинаться с ну­ля, то циф­ру со­тен мож­но выб­рать пятью спо­соба­ми; вы­бор циф­ры де­сят­ков мож­но осу­щес­твить так­же пятью спо­соба­ми, пос­кольку циф­ры в за­писи чис­ла не дол­жны пов­то­ряться, а од­на из шес­ти дан­ных цифр бу­дет уже ис­пользо­вана для за­писи со­тен; пос­ле вы­бора двух цифр (для за­писи со­тен и де­сят­ков) выб­рать циф­ру еди­ниц из дан­ных шес­ти мож­но че­тырьмя спо­соба­ми. От­сю­да, по пра­вилу ум­но­жения, по­луча­ем, что трех­знач­ных чи­сел (из дан­ных шес­ти цифр) мож­но об­ра­зовать 5 ⋅ 5 ⋅ 4 = 100 спо­соба­ми.

Практическая часть

Используя правило произведения, решите самостоятельно следующие задачи:

Школьни­ки из Вол­гогра­да соб­ра­лись на ка­нику­лы по­ехать в Мос­кву, по­сетив по до­роге Ниж­ний Нов­го­род. Из Вол­гогра­да в Ниж­ний Нов­го­род мож­но от­пра­виться на теп­ло­ходе или по­ез­де, а из Ниж­не­го Нов­го­рода в Мос­кву — на са­моле­те, теп­ло­ходе или ав­то­бусе. Скольки­ми раз­личны­ми спо­соба­ми ре­бята мо­гут осу­щес­твить свое пу­тешес­твие? На­зови­те все воз­можные ва­ри­ан­ты это­го пу­тешес­твия.

Сколько раз­личных двуз­начных чи­сел мож­но за­писать с по­мощью цифр 3, 4, 5 и 6? Сколько раз­личных двуз­начных чи­сел мож­но за­писать, ис­пользуя при за­писи чис­ла каж­дую из ука­зан­ных цифр только один раз? Чтобы ответить на первый вопрос задачи используйте задачу 4. Чтобы ответить на второй вопрос задачи используйте задачу 6, но учтите, что у вас нет нуля.

Сколько все­воз­можных че­тырех­знач­ных чи­сел мож­но сос­та­вить, ис­пользуя для за­писи циф­ры 1, 2, 3 и 4? Ка­кова раз­ность меж­ду са­мым большим и са­мым ма­лым из них?

Из цифр 0,1,2,3,4 составляют всевозможные пятизначные числа, причем так, что в записи каждого числа содержатся все данные цифры. Сколько можно составить таких чисел? Чему будет равна разность между наибольшим и наименьшим из полученных чисел?

Проверьте себя:

В НН М

Из Волгограда в Нижний Новгород выбор из 2 видов транспорта (теплоход т и поезд п), а из Нижнего Новгорода в Москву – из 3 (самолет с, теплоход т, автобус а). Получаем 2•3=6. Ответ 6 вариантов. 6 это мало, можно все перебрать:

Двузначное число обозначим двумя точками: • •

Выпишем данные цифры: 3,4,5,6.

Ответим на первый вопрос. На первое место числа можно поставить любую из 4 цифр и на второе место любую из 4 цифр:

4•4=16. Получится 16 чисел.

Ответим на второй вопрос: если нельзя повторять цифры, то когда мы одну возьмем, останется только 3:

4•3=12. Получится 12 чисел. Можно убедиться в этом, выписав их все, используя метод перебора от меньшего к большему, чтобы ничего не пропустить:

3. Рассуждайте так: пришел школьник на экзамен по математике, сколько у него возможностей получить отметку (4 или 5, то есть 2 возможности)? Потом на экзамен по русскому, сколько вариантов получить отметку? И на английский… Итак 2•2•2=8. Всего 8 вариантов распределения отметок. Можно выписать их все, чтобы убедиться: 444;445;454;455;544;545;554;555. 8 вариантов распределения оценок. А учеников 9, значит, хотя бы у двоих оценки совпадут.

4. • • • • 1,2,3,4 -4 цифры

• • • • • 0,1,2,3,4 – 5 цифр, но есть 0!

5 – сделали четкий структурированный конспект, все поняли, самостоятельно верно решили 4-5 задач.

4 – сделали четкий структурированный конспект, все поняли, самостоятельно верно решили 2-3 задачи.

3 – сделали четкий структурированный конспект, все поняли только после знакомства с верными решениями.

2 – ничего не делали, ничего не поняли.

Физкультминутка:

Размещения и сочетания

Теоретическая часть

Раз­ме­щение с пов­то­рени­ями из k эле­мен­тов по m эле­мен­тов — это кор­теж дли­ны m, сос­тавлен­ный из m эле­мен­тов k-эле­мен­тно­го мно­жес­тва.

Вспомните, где вы встречали слово кортеж: свадебный кортеж, президентский кортеж – элементы следуют друг за другом в строгом порядке. Порядок важен!

Запишите примеры задач:

Сколько раз­личных двуз­начных чи­сел мож­но за­писать с по­мощью цифр 3, 4, 5 и 6?

Эту задачу мы с вами уже решили по правилу произведения. Теперь решим по формуле. Порядок важен для нас, повторяться можно, поэтому это размещение с повторениями. Выбираем из 4 – внизу будет 4, выбираем 2 цифры – наверху будет 2.

Имеется лак двух цветов: красный и черный. Сколько существует вариантов распределения цветов на 10 ногтях?

Нам важно, ноготь, на каком пальце будет красный, а на каком - черный, поэтому порядок важен для нас. Мы можем все выкрасить в 1 цвет или один или 2 любых ногтя покрасить в красный, а остальные в чёрный или 3 или наоборот. Мы можем решить эту задачу по правилу произведения, выбирая для каждого из 10 ногтей из 2 цветов: 2•2•2•2•2•2•2•2•2•2=1024.

А можем выбрать формулу Внизу 2 – выбираем из 2, наверху – 10 – выбираем из 10:

Запишите определение, формулу и пример задачи:

Обратите внимание, что количество множителей m, поэтому можно не считать, сколько будет в 3 скобке, просто каждый следующий множитель на 1 меньше предыдущего, а их количество равно m. В задаче 3 множителя.

Запишите: За­дача 2. Сколько все­воз­можных трех­знач­ных чи­сел мож­но за­писать, ис­пользуя циф­ры 7, 4 и 5, так, что­бы циф­ры в за­писи чис­ла не пов­то­рялись?

За­метим, что в дан­ном слу­чае раз­ные чис­ла по­луча­ют­ся в ре­зульта­те пе­рес­та­нов­ки цифр. По­это­му раз­ме­щения из k эле­мен­тов по k эле­мен­тов на­зыва­ют пе­рес­та­нов­ка­ми из k эле­мен­тов без пов­то­рений.

Чис­ло пе­рес­та­новок без пов­то­рений из k эле­мен­тов обоз­на­ча­ют Pk и под­счи­тыва­ют по фор­му­ле

Pk = k!, где k! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ k

Запишите определение, формулу и пример задачи:

Со­чета­ние без пов­то­рения из k эле­мен­тов по m эле­мен­тов — это m-эле­мен­тное под­мно­жес­тво мно­жес­тва, со­дер­жа­щего k эле­мен­тов.

Задача. На пря­мой взя­ли де­сять то­чек. Сколько все­го по­лучи­лось от­резков, кон­ца­ми ко­торых яв­ля­ют­ся эти точ­ки?

В этой за­даче порядок ро­ли не иг­ра­ет (от­ре­зок AВ и от­ре­зок ВA — это один и тот же от­ре­зок). Порядок не важен. Ком­би­нации в этой за­даче яв­ля­ют­ся дву­хэле­мен­тны­ми под­мно­жес­тва­ми, об­ра­зован­ны­ми из 10 дан­ных эле­мен­тов (то­чек). Та­кие под­мно­жес­тва в ком­би­нато­рике на­зыва­ют­ся со­чета­ни­ями без пов­то­рений из 10 эле­мен­тов по 2. Их чис­ло мож­но найти по фор­му­ле: .

Ко­неч­но, при­мене­ние фор­мул об­легча­ет под­счет чис­ла воз­можных ва­ри­ан­тов ре­шений той или иной ком­би­натор­ной за­дачи. Од­на­ко что­бы вос­пользо­ваться фор­му­лой, не­об­хо­димо оп­ре­делить вид со­еди­нений (ком­би­наций), о ко­торых идет речь в за­даче, что бы­ва­ет сде­лать не очень прос­то. Для этого воспользуемся алгоритмом (запишите алгоритм в тетрадь):

Порядок важен?

Да – это размещение. Нет – это сочетание.

Если это размещение. Второй вопрос: элементы могут повторяться? Да – размещение с повторениями. Нет – размещение без повторений.

Если элементы просто переставляются местами, то это перестановка.

Практическая часть

Решения задач записывайте на чистой странице тетради, четко, яркими чернилами для последующего фотографирования!

В сле­ду­ющих за­дачах рас­смат­ри­ва­ют­ся раз­ме­щения из k эле­мен­тов по m; решите, используя формулы размещений и перестановки:

Из 20 уча­щих­ся клас­са на­до выб­рать ста­рос­ту, его за­мес­ти­теля и ре­дак­то­ра га­зеты. Скольки­ми спо­соба­ми это мож­но сде­лать?

В клас­се изу­ча­ют­ся 7 пред­ме­тов. В сре­ду 4 уро­ка, при­чем все раз­ные. Скольки­ми спо­соба­ми мож­но сос­та­вить рас­пи­сание на сре­ду?

В со­рев­но­вании учас­тву­ют 10 че­ловек. Скольки­ми спо­соба­ми мо­гут рас­пре­делиться меж­ду ни­ми мес­та?

Сколько все­воз­можных трех­знач­ных чи­сел мож­но за­писать, ис­пользуя циф­ры 3, 4, 5 и 6?

В сле­ду­ющих за­дачах рас­смат­ри­ва­ют­ся со­чета­ния из k эле­мен­тов по m, решите, используя формулу для сочетаний:

Скольки­ми спо­соба­ми мож­но выб­рать из 6 че­ловек ко­мис­сию, сос­то­ящую из трех че­ловек?

Скольки­ми спо­соба­ми мож­но выб­рать 4 крас­ки из 10 раз­личных кра­сок?

Ре­шите сле­ду­ющие за­дачи, ис­пользуя фор­му­лы. Выбирайте формулу по алгоритму:

Сколько сло­варей не­об­хо­димо пе­ревод­чи­ку, что­бы он мог пе­рево­дить текст с лю­бого из че­тырех язы­ков — рус­ско­го, ан­глийско­го, не­мец­ко­го и фран­цуз­ско­го — на лю­бой дру­гой из этих язы­ков?

Го­сударст­вен­ные фла­ги не­кото­рых стран сос­то­ят из трех го­ризон­тальных по­лос раз­но­го цве­та. Сколько раз­личных ва­ри­ан­тов фла­гов с бе­лой, си­ней и крас­ной по­лоса­ми мож­но сос­та­вить?

Мальчик выб­рал в биб­ли­оте­ке 5 книг. По пра­вилам биб­ли­оте­ки од­новре­мен­но мож­но взять только 2 кни­ги. Сколько у мальчи­ка ва­ри­ан­тов вы­бора двух книг из пя­ти?

Аня, Бо­ря, Ве­ра и Ге­на — луч­шие лыж­ни­ки шко­лы. На со­рев­но­вания на­до выб­рать тро­их из них. Скольки­ми спо­соба­ми мож­но это сде­лать?

При из­го­тов­ле­нии ав­то­руч­ки кор­пус и кол­па­чок мо­гут иметь оди­нако­вый или раз­ный цвет. На фаб­ри­ке име­ет­ся плас­тмас­са че­тырех цве­тов: бе­лого, крас­но­го, си­него и зе­лено­го. Ка­кие от­ли­ча­ющи­еся по цве­ту руч­ки мож­но из­го­товить?

На пря­мой взя­ли 4 точ­ки. Сколько все­го по­лучи­лось от­резков, кон­ца­ми ко­торых яв­ля­ют­ся эти точ­ки?

В со­рев­но­вани­ях учас­тву­ют 5 фут­больных ко­манд. Каж­дая ко­ман­да иг­ра­ет один раз с каж­дой из ос­тальных ко­манд. Сколько мат­чей бу­дет сыг­ра­но.

Сфотографируйте свои решения: условие-формула-вычисления (только решения задач); самооценку в 14 и загрузите этот файл под вашей фамилией в вашу папку 321 16.05 по ссылке:

Проверьте себя:

-75%

Читайте также:

  
• Шасла гайлюнаса виноград описание
  
• Виноград днестровский розовый описание сорта
  
• Белый налет на сливах после кипятка
  
• Мускат днестровский сорт винограда
  
• Как собирают яблоки в германии