Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70
Добавил пользователь Евгений Кузнецов Обновлено: 05.09.2024
Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием закон больших чисел.
Неравенства Чебышева.Если возможные значения ДСВ Х неотрицательны и существует ее математическое ожидание , то для любого числа справедливо первое неравенство Чебышева:
которое можно записать в другом виде:
Для СВ Х с математическим ожиданием и конечной дисперсией D(X) и для любого числа выполняются неравенства:
Неравенство (11) и (12) представляют собой различные формы записи второго неравенства Чебышева.
Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит менее 360 г.?
Случайную величину – вес клубня – обозначим через Х. По условию . Искомую вероятность оценим по формуле (10):
Задачи.
17.51. Среднее число молодых специалистов, ежегодно направляемых в аспирантуру, составляет 200 человек. Оценить вероятность того, что в данном году будет направлено в аспирантуру менее 220 молодых специалистов.
17.52. Оценить вероятность того, что при 3600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений 6 очков будет не меньше 900.
17.53. СВ Х имеет дисперсию .Какова вероятность того, что СВ Х отличается от не менее, чем на 0,1?
17.54. СВ Х имеет дисперсию .Какова вероятность того, что СВ Х отличается от не менее, чем на 0,2?
17.55. Для СВ Х известна дисперсия и неравенство
. Найти число а.
17.56. Среднее значение длины детали равно 50 см, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.
17.57. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Оценить вероятность того, что из посеянных 1000 семян число взошедших окажется от 700 до 800 включительно.
Теорема Чебышева.(Закон больших чисел.)Если случайные величины попарно независимы, имеют математическое ожидание и дисперсию, каждая из которых ограничена одним и тем же числом С, то для любого числа выполняется неравенство
В частном случае, когда все СВ имеют одно и то же математическое ожидание , неравенство принимает вид
Теорема Бернулли.Если m – число наступлений события А в n независимых испытаниях и р – вероятность наступления события А в каждом из испытаний, то для любого
Найти вероятность того, что частота появления шестерки в 10000 независимых подбрасываниях игрального кубика отклоняется от вероятности появления шестерки по модулю меньше, чем на 0,01. Решение.
В данном случае n = 10000, p = 1/6, q = 5/6. Воспользуемся теоремой Бернулли (14):
Задачи.
17.58. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.
17.59. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р = 0,7?
17.60. Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взяли на выборку по 1 квадратному метру с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю менее чем на 0,25 центнера.
17.61. Определить сколько надо произвести замеров поперечного сечения деревьев на большом участке, чтобы средний диаметр деревьев отличался от истинного значения а менее чем на 2 см с вероятностью не меньшей 0,95. Среднее квадратическое отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 10 см.
17.62. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Найти вероятность того, что при посеве 10000 семян отклонение доли взошедших семян от вероятности того, что взойдет каждое из них, не превзойдет по модулю 0,01.
Локальная теорема Лапласа.Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно раз, приближенно равна
Интегральная теорема Лапласа.Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит не менее раз и не более раз, приближенно равна
Вероятность можно вычислить по формуле:
где - функция Лапласа.
Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз.
По условию , поэтому . Воспользуемся формулой (16), предварительно вычислив и по формуле (15):
Задачи.
17.63. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) 750 раз; б) 710 раз.
17.64. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 710 раз и не более 740 раз.
17.65. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появления события А в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,5?
17.66. Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наугад 1000 лампочек. Оценить вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.
17.67. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.
17.68. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных будет не более 17?
17.69. Вероятность изготовления детали первого сорта на данном станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется 75 деталей первого сорта.
17.70.Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?
ОТВЕТЫ
17.1.0,2; ломаная А1А2А3А4А5, где А1(0,2;0,1), А2(0,4;0,2), А3(0,6;0,4), А4(0,8;0,2), А5(1;0,1)17.2. , , 17.3. , , , 17.4.D(X) = 1,2917.5.D(X) = 8,545; 17.6.0,0617.7.0,057917.8.а) 3 из 4; б) не менее 5 из 817.9.0,217.10.0,6317.11.0,14517.12.a) 1/4 б) 1/4 в) 15/16 17.13. 17.14.a) 0,591 б) 2 17.15. 17.16. , , , , 17.17. , , , , , , 17.18. 17.19. , , , , , 17.20. , , , , 17.21. , , , , ; M(X) = 1,2; 17.22.0,517.23.а)0 б)0,5 в)0 17.24.а) б)1/217.25.а) б) 17.26. ; M(X) = 2/3; 17.27.93,7%17.28.0,08817.29. 17.30.0,0478 17.31.9%17.32. ; M(X) = a
17.33.
| yi | 3 | 9 | 15 |
| pi | 0,4 | 0,1 | 0,5 |
17.34.
| yi | 1 | 4 |
| pi | 0,5 | 0,5 |
17.35.
| yi | 0 | 1 | 2 |
| pi | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
17.36.
| yi | 0 | 2 | 6 |
| pi | 0,5 | 0,3 | 0,2 |
17.37.
| yi | 0 | 1 | 4 | 9 |
| pi | 0,25 | 0,45 | 0,25 | 0,05 |
M(X) = 0,6; D(X) = 1,54; M(Y) = 1,9; D(Y) = 4,89
17.38. 17.39. 17.40. 17.41. 17.44.
| xi | 0 | 1 |
| pi | 0,45 | 0,55 |
M(X) = 0,55; D(X) = 0,2475
| yi | -1 | 0 | 1 |
| pi | 0,25 | 0,4 | 0,35 |
M(Y) = 0,1; D(Y) = 0,59; KXY = 0,055
17.45.
| xi | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 0,5 | 0,3 | 0,15 | 0,05 |
| yi | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,55 | 0,3 | 0,15 |
| yi | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,3 | 0,4 | 0,24 | 0,06 |
17.51. 17.52. 17.53. 17.54. 17.55. 17.56. 17.57. 17.58. 17.59. 17.60. 17.61. 17.62. 17.63. 17.64. 17.65. 17.66. 17.67. 17.68. 17.69. 17.70. .
Таблицы значений функции Лапласа и .
| x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) |
| 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 | 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,3918 | 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 | 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 | 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,3825 0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3726 0,3712 0,3697 | 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 | 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 | 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3538 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0,3352 | 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 | 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 | 0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0,3144 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3034 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0,2920 | 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 | 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 | 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2203 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0,1965 | 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 |
| x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) |
| 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 | 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0,1736 0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,1518 | 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 | 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 | 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1315 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1127 | 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 | 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 | 0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0,0957 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0,0804 | 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 | 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 | 0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0,0669 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0,0551 | 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 | 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 | 0,0540 0,0519 0,0498 0,0478 0,0459 0,0440 0,0422 0,0404 0,0387 0,0371 0,0355 0,0339 0,0325 0,0310 0,0297 0,0283 0,0270 0,0258 0,0246 0,0235 | 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913 |
| x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) |
| 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 | 0,0224 0,0213 0,0203 0,0194 0,0184 0,0175 0,0167 0,0158 0,0151 0,0143 0,0136 0,0129 0,0122 0,0116 0,0110 0,0104 0,0099 0,0093 0,0088 0,0084 | 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 | 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,50 5,00 | 0,0079 0,0075 0,0071 0,0067 0,0063 0,0060 0,0056 0,0053 0,0050 0,0047 0,00443 0,00327 0,00238 0,00172 0,00123 0,00087 0,00061 0,00042 0,00029 0,00020 0,0001338 0,0000160 0,0000015 | 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49903 0,49931 0,49952 0,49966 0,49977 0,49984 0,49989 0,49993 0,49995 0,499968 0,499997 0,49999997 |
Схема Бернулли. Пусть событие A с одной и той же вероятностью p наступает в одном, отдельно взятом испытании. Требуется найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A наступит k раз (k≤n).
Формула Бернулли. Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна p, это событие произойдет раз (k≤n), вычисляют по формуле Pn(k)= p k (1–p) n - k .
Локальная приближенная формула Лапласа. При больших n вероятность того, что в условиях формулы Бернулли событие A при испытаниях появится k раз, вычисляют по формуле , где p – вероятность осуществления события A в одном испытании, , , причем φ(–x)=φ(x). Значения функции для различных находят по таблице.
Интегральная приближенная формула Муавра-Лапласа. При больших n вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие A при n испытаниях появится не менее k1 раз и не более k2 раз вычисляют по формуле Pn(k1≤k≤k2)≈Ф(x2)–Ф(x1), где , , . Значения функции – функции Лапласа – для различных значений x находят по таблице, причем Ф(–x)=–Ф(x). При |x|≥5 Ф(x)≈0,5.
Приближенная формула Пуассона. Если в условиях формулы Бернулли число испытаний n очень велико, а вероятность p появления события A в одном испытании очень мала, то вероятность появления раз события A при n испытаниях вычисляют по формуле , где a=np.
Пример 1. В магазин вошли восемь покупателей. Найдите вероятность того, что трое из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого равна 0,3.
Пример 2. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь сорок первого размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что среди ста покупателей потребуют обувь сорок первого размера: а) двадцать пять человек; б) от десяти до тридцати человек.
Решение. а) Событие A – покупатель потребует обувь сорок первого размера. В каждом из ста (n=100) независимых испытаниях событие A произойдет с вероятностью, равной 0,2 (p=0,2). Поскольку n велико (np(1–p) ≥10), вероятность того, что событие A произойдет двадцать пять раз (k=25), вычисляют по локальной приближенной формуле Лапласа:
б) Вероятность того, что событие A произойдет не менее десяти (k1=10), не более тридцати раз (k2=30) вычисляют по интегральной приближенной формуле Муавра-Лапласа:
Ответ: 0,046; 0,99.
Пример 3. Магазин получил тысячу бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найдите вероятность того, что магазин получит: а) ровно две разбитые бутылки; б) не менее двух разбитых бутылок.
Решение. а) Событие A – бутылка разбита – в каждом из тысячи испытаний (n=1000) имеет вероятность 0,003 (p=0,003). Поскольку вероятность p мала, а число испытаний велико, вероятность того, что из тысячи бутылок ровно две (k=2) окажутся разбитыми, вычисляют по приближенной формуле Пуассона:
б) События B – разбитыми окажутся не менее двух из тысячи бутылок (2≤k≤1000), то есть или две, или три, …, или тысяча. Вероятность этого события равна сумме вероятностей P1000(2), P1000(3),…, P1000(1000). Для ее вычисления нужно найти по приближенной формуле Пуассона 999 вероятностей и сложить их. С другой стороны, противоположным событию B является событие – разбитыми окажутся менее двух из тысячи бутылок (k 2 . Дисперсию можно вычислять по формуле: D(X)=M(X 2 )–(M(X)) 2 . Стандартное отклонение σ(X) случайной величины X – это корень из дисперсии: σ(X)= .
Свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: M(c)=c.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(cX)=cM(X).
3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной равна нулю: D(c)=0.
2. Константа выносится за знак дисперсии с возведением в квадрат: D(cX)=c 2 D(X).
3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий:
4. Дисперсия произведения независимых случайных величин X, Y равна разности произведений математических ожиданий квадратов случайных величин и произведений квадратов математических ожиданий случайных величин:
D(XY)=M(X 2 )M(Y 2 )–(M(X)) 2 (M(Y)) 2 .
Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием закон больших чисел.
Неравенства Чебышева.Если возможные значения ДСВ Х неотрицательны и существует ее математическое ожидание , то для любого числа справедливо первое неравенство Чебышева:
которое можно записать в другом виде:
Для СВ Х с математическим ожиданием и конечной дисперсией D(X) и для любого числа выполняются неравенства:
Неравенство (11) и (12) представляют собой различные формы записи второго неравенства Чебышева.
Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит менее 360 г.?
Случайную величину – вес клубня – обозначим через Х. По условию . Искомую вероятность оценим по формуле (10):
Задачи.
17.51. Среднее число молодых специалистов, ежегодно направляемых в аспирантуру, составляет 200 человек. Оценить вероятность того, что в данном году будет направлено в аспирантуру менее 220 молодых специалистов.
17.52. Оценить вероятность того, что при 3600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений 6 очков будет не меньше 900.
17.53. СВ Х имеет дисперсию .Какова вероятность того, что СВ Х отличается от не менее, чем на 0,1?
17.54. СВ Х имеет дисперсию .Какова вероятность того, что СВ Х отличается от не менее, чем на 0,2?
17.55. Для СВ Х известна дисперсия и неравенство
. Найти число а.
17.56. Среднее значение длины детали равно 50 см, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.
17.57. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Оценить вероятность того, что из посеянных 1000 семян число взошедших окажется от 700 до 800 включительно.
Теорема Чебышева.(Закон больших чисел.)Если случайные величины попарно независимы, имеют математическое ожидание и дисперсию, каждая из которых ограничена одним и тем же числом С, то для любого числа выполняется неравенство
В частном случае, когда все СВ имеют одно и то же математическое ожидание , неравенство принимает вид
Теорема Бернулли.Если m – число наступлений события А в n независимых испытаниях и р – вероятность наступления события А в каждом из испытаний, то для любого
Найти вероятность того, что частота появления шестерки в 10000 независимых подбрасываниях игрального кубика отклоняется от вероятности появления шестерки по модулю меньше, чем на 0,01. Решение.
В данном случае n = 10000, p = 1/6, q = 5/6. Воспользуемся теоремой Бернулли (14):
Задачи.
17.58. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.
17.59. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р = 0,7?
17.60. Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взяли на выборку по 1 квадратному метру с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю менее чем на 0,25 центнера.
17.61. Определить сколько надо произвести замеров поперечного сечения деревьев на большом участке, чтобы средний диаметр деревьев отличался от истинного значения а менее чем на 2 см с вероятностью не меньшей 0,95. Среднее квадратическое отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 10 см.
17.62. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Найти вероятность того, что при посеве 10000 семян отклонение доли взошедших семян от вероятности того, что взойдет каждое из них, не превзойдет по модулю 0,01.
Локальная теорема Лапласа.Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно раз, приближенно равна
Интегральная теорема Лапласа.Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит не менее раз и не более раз, приближенно равна
Вероятность можно вычислить по формуле:
где - функция Лапласа.
Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз.
По условию , поэтому . Воспользуемся формулой (16), предварительно вычислив и по формуле (15):
Задачи.
17.63. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) 750 раз; б) 710 раз.
17.64. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 710 раз и не более 740 раз.
17.65. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появления события А в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,5?
17.66. Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наугад 1000 лампочек. Оценить вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.
17.67. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.
17.68. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных будет не более 17?
17.69. Вероятность изготовления детали первого сорта на данном станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется 75 деталей первого сорта.
17.70.Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?
ОТВЕТЫ
17.1.0,2; ломаная А1А2А3А4А5, где А1(0,2;0,1), А2(0,4;0,2), А3(0,6;0,4), А4(0,8;0,2), А5(1;0,1)17.2. , , 17.3. , , , 17.4.D(X) = 1,2917.5.D(X) = 8,545; 17.6.0,0617.7.0,057917.8.а) 3 из 4; б) не менее 5 из 817.9.0,217.10.0,6317.11.0,14517.12.a) 1/4 б) 1/4 в) 15/16 17.13. 17.14.a) 0,591 б) 2 17.15. 17.16. , , , , 17.17. , , , , , , 17.18. 17.19. , , , , , 17.20. , , , , 17.21. , , , , ; M(X) = 1,2; 17.22.0,517.23.а)0 б)0,5 в)0 17.24.а) б)1/217.25.а) б) 17.26. ; M(X) = 2/3; 17.27.93,7%17.28.0,08817.29. 17.30.0,0478 17.31.9%17.32. ; M(X) = a
17.33.
| yi | 3 | 9 | 15 |
| pi | 0,4 | 0,1 | 0,5 |
17.34.
| yi | 1 | 4 |
| pi | 0,5 | 0,5 |
17.35.
| yi | 0 | 1 | 2 |
| pi | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
17.36.
| yi | 0 | 2 | 6 |
| pi | 0,5 | 0,3 | 0,2 |
17.37.
| yi | 0 | 1 | 4 | 9 |
| pi | 0,25 | 0,45 | 0,25 | 0,05 |
M(X) = 0,6; D(X) = 1,54; M(Y) = 1,9; D(Y) = 4,89
17.38. 17.39. 17.40. 17.41. 17.44.
| xi | 0 | 1 |
| pi | 0,45 | 0,55 |
M(X) = 0,55; D(X) = 0,2475
| yi | -1 | 0 | 1 |
| pi | 0,25 | 0,4 | 0,35 |
M(Y) = 0,1; D(Y) = 0,59; KXY = 0,055
17.45.
| xi | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 0,5 | 0,3 | 0,15 | 0,05 |
| yi | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,55 | 0,3 | 0,15 |
| yi | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,3 | 0,4 | 0,24 | 0,06 |
17.51. 17.52. 17.53. 17.54. 17.55. 17.56. 17.57. 17.58. 17.59. 17.60. 17.61. 17.62. 17.63. 17.64. 17.65. 17.66. 17.67. 17.68. 17.69. 17.70. .
Таблицы значений функции Лапласа и .
| x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) |
| 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 | 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,3918 | 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 | 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 | 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,3825 0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3726 0,3712 0,3697 | 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 | 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 | 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3538 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0,3352 | 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 | 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 | 0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0,3144 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3034 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0,2920 | 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 | 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 | 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2203 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0,1965 | 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 |
| x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) |
| 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 | 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0,1736 0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,1518 | 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 | 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 | 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1315 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1127 | 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 | 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 | 0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0,0957 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0,0804 | 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 | 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 | 0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0,0669 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0,0551 | 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 | 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 | 0,0540 0,0519 0,0498 0,0478 0,0459 0,0440 0,0422 0,0404 0,0387 0,0371 0,0355 0,0339 0,0325 0,0310 0,0297 0,0283 0,0270 0,0258 0,0246 0,0235 | 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913 |
| x | j(x) | F0(x) | x | j(x) | F0(x) |
| 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 | 0,0224 0,0213 0,0203 0,0194 0,0184 0,0175 0,0167 0,0158 0,0151 0,0143 0,0136 0,0129 0,0122 0,0116 0,0110 0,0104 0,0099 0,0093 0,0088 0,0084 | 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 | 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,50 5,00 | 0,0079 0,0075 0,0071 0,0067 0,0063 0,0060 0,0056 0,0053 0,0050 0,0047 0,00443 0,00327 0,00238 0,00172 0,00123 0,00087 0,00061 0,00042 0,00029 0,00020 0,0001338 0,0000160 0,0000015 | 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49903 0,49931 0,49952 0,49966 0,49977 0,49984 0,49989 0,49993 0,49995 0,499968 0,499997 0,49999997 |
Когда до начала календарной весны остается все меньше дней, это означает, что начало нового сезона садово-огородных работ уже не за горами.
Пока семена терпеливо ждут своего часа, самое время проверить их на всхожесть.
Зачем определять процент всхожести группы семян
Многие огородники после посева различных овощных и цветочных культур обнаруживают, что всходы редкие, несмотря на здоровый внешний вид материала и соблюдение всех агротехнических правил. Определение жизнеспособности семян поможет избежать рисков при посеве их как в открытый грунт, так и на рассаду.
Правильно рассчитанный процент всхожести избавит от непродуктивной траты времени, сэкономит посевной материал ценных сортов, не даст пропустить оптимальные сроки посадки.
☝️ Когда не рекомендуется сеять
Семена со всхожестью 30% и ниже использовать не рекомендуется, поскольку, вероятнее всего, возникнет необходимость повторного посева, что приведет к потере 2-3 недель драгоценного времени.
Как определить процент всхожести семян
Определить процент всхожести можно очень просто:
10 семян одной культуры (можно взять и больше, но тогда подсчет будет выполнить труднее) равномерно распределяют между листами фильтровальной бумаги (промокашек), помещают в плоскую тарелку либо небольшое блюдце и слегка увлажняют.
- Подойдут и другие пористые материалы: сложенная в три слоя марля, туалетная бумага, тонкая хлопчатобумажная ткань.
- Емкость накрывают полиэтиленом, холодостойкие культуры содержат при температуре от +18 до +22 градусов, теплолюбивые — +25 +30 градусов.
- По мере просыхания подложку снова увлажняют, следя за тем, чтобы она не была слишком мокрой.
Через время, равное сроку прорастания той либо иной культуры, подсчитывают количество проклюнувшихся семян. Так, если из 10 штук проросло только 6 — всхожесть данной партии составляет ориентировочно 60%.
Читайте также: