Выбери параболу ветви которой направлены вверх 3x 7x 2 9
Добавил пользователь Skiper Обновлено: 19.09.2024
На одном из рисунков изображен график функции \(y=-x^2+3x+3\) . Укажите номер этого рисунка.
Коэффициент перед \(x^2\) в уравнении параболы отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Значит, выбираем между 3 и 4. Парабола 3 имеет отрицательную абсциссу вершины, а парабола 4 – положительную. В данном уравнении абсцисса вершины равна \(x_0=\frac>0\) . Следовательно, ответ 4.
На одном из рисунков изображен график функции \(y=-2x^2+12x-16\) . Укажите номер этого рисунка.
Коэффициент перед \(x^2\) в уравнении параболы отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Значит, выбираем между 1 и 4. Парабола 4 имеет отрицательную абсциссу вершины, а парабола 1 – положительную. В данном уравнении абсцисса вершины равна \(x_0=\frac>0\) . Следовательно, ответ 1.
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ФОРМУЛЫ:
1) \(y=-x^2-6x-6\qquad \) 2) \(y=x^2+6x+6\qquad \) 3) \(y=x^2-6x+6\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ: \(\begin <|c|c|c|>\hline \text & \text & \text \\ \hline && \\ \hline \end\)
Если ветви параболы направлены вверх – то коэффициент перед \(\,x^2\) положительный, вниз – отрицательный. Парабола Б – единственная, ветви которой направлены вниз, следовательно, ей соответствует формула 1.
У параболы А абсцисса вершины положительная, у параболы В – отрицательная. Так как из формулы \(y=ax^2+bx+c\) абсцисса вершины ищется как \(x_0=\frac\) , то А – 3, В – 2.
Ответ: \(\begin <|c|c|c|>\hline \text & \text & \text \\ \hline 3&1&2 \\ \hline \end\)
В ответ запишем 312.
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ФОРМУЛЫ:
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ: \(\begin <|c|c|c|>\hline \text & \text & \text \\ \hline && \\ \hline \end\)
Если ветви параболы направлены вверх – то коэффициент перед \(\,x^2\) положительный, вниз – отрицательный. Парабола А – единственная, ветви которой направлены вниз, следовательно, ей соответствует формула 1.
У параболы Б абсцисса вершины отрицательная, у параболы В – положительная. Так как из формулы \(y=ax^2+bx+c\) абсцисса вершины ищется как \(x_0=\frac\) , то Б – 2, В – 3.
Ответ: \(\begin <|c|c|c|>\hline \text & \text & \text \\ \hline 1&2&3 \\ \hline \end\)
Все знают, как выглядит парабола y = x 2 . В седьмом классе мы рисовали таблицу:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
1. Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a > 0 ветви направлены вверх, при a 2 с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.
На рисунке приведены две параболы y = a1x 2 и y = a2x 2 , у которых a2 > a1 > 0
3. Абсцисса вершины параболы y = ax 2 + bx + c находится по формуле:
Для нахождения ординаты вершины y0 удобнее всего подставить x0 в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что
где D = b 2 − 4ac — дискриминант.
4. Точки пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью X находятся с помощью решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.
5. Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).
А теперь покажем, как с помощью графика функции y = ax 2 + bx + c решать квадратные неравенства.
1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство
x 2 2 и отметим все значения x, для которых y 2 − 3x − 10 ≥ 0.
Графиком функции y = x 2 − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x 2 − 3x − 10 = 0, находим x1 = −2 и x2 = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:
Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при .
Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!
3. Ещё одно неравенство: x 2 + 2x + 4 > 0.
Ветви параболы y = x 2 + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x 2 + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.
Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.
Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.
Ответ: .
Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.
4. Завиcимоcть объeма cпроcа q (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за меcяц r (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка r(p) cоcтавит не менее 240 тыc. руб. Ответ приведите в тыc. руб.
Подставим выражение для q в формулу выручки:
r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p 2
Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:
100p − 10p 2 ≥ 240
Переносим всё вправо и делим на 10:
p 2 − 10p + 24 ≤ 0
Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p 2 − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.
Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.
5. Выcота над землёй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону h(t) = 1,6 + 8t − 5t 2 , где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трёх метров?
Итак, требуется, чтобы выполнялось неравенство h(t) ≥ 3. Подставляем сюда выражение для h:
1,6 + 8t − 5t 2 ≥ 3
Собираем всё справа:
5t 2 − 8t + 1,4 ≤ 0
Корни соответствующего уравнения 5t 2 −8t+1,4 = 0 равны t1 = 0,2 и t2 = 1,4. Как дальше действовать — мы знаем.
Таким образом, через t1 = 0,2 секунды после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась; затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени t = 1,4 секунды снова стала равна трём метрам над землей.
6. Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением T(t) = T0 + bt + at 2 , где t — время в минутах, T0 = 1400 К, a = −10 К/мин, b = 200 К/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше 1760 К прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.
Согласно условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:
T(t) = 1400 + 200t − 10t 2
В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T ≤ 1760, или
1400 + 200t − 10t 2 ≤ 1760
Переносим всё вправо и делим на 10:
t 2 − 20t + 36 ≥ 0
Находим t1 = 2, t2 = 18 и делаем рисунок:
Получаем решения нашего неравенства:
Остаётся понять: в какой же момент отключать прибор? Для этого надо представить физическую картину процесса.
Мы включаем прибор в момент времени t = 0. Температура нагревателя повышается и при t = 2 мин достигает 1760 К. Затем повышение температуры продолжается, в результате чего прибор может испортиться. Поэтому ясно, что отключать его надо при t = 2.
А что же решения t ≥ 18? Они не имеют физического смысла. Войдя в зону температур T > 1760, прибор испортится, и формула T(t) = 1400+200t−10t 2 , справедливая для исправного прибора, перестанет адекватно отражать реальность.
В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.
Функция вида , где называется квадратичной функцией.
В уравнении квадратичной функции:
a - старший коэффициент
b - второй коэффициент
с - свободный член.
Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:
Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками - это, так называемые "базовые точки". Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:
Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции имеет вид:
Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:
Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.
Итак, мы заметили:
Если старший коэффициент a>0 , то ветви параболы напрaвлены вверх .
Если старший коэффициент a , то ветви параболы напрaвлены вниз .
Второй параметр для построения графика функции - значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции - это точки пересечения графика функции с осью ОХ.
Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .
В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .
В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.
И здесь возможны три случая:
1. Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:
2. Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:
3 . Если ,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:
>/" />
, >/" />
Если ,то график функции выглядит примерно так:
Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.
Следующий важный параметр графика квадратичной функции - координаты вершины параболы:
Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.
И еще один параметр, полезный при построении графика функции - точка пересечения параболы с осью OY.
Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .
То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).
Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.
1. Функция задана формулой .
Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции
1. Направление ветвей параболы.
Так как ,ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена
=7" />
Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.
Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:
/4=1" />
, /4=-2,5" />
3. Координаты вершины параболы:
4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.
Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:
Этот способ можно несколько упростить.
1. Найдем координаты вершины параболы.
2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.
Воспользуемся результатами построения графика функции
Кррдинаты вершины параболы
Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3
Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2
Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:
Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:
2 . Уравнение квадратичной функции имеет вид - в этом уравнении - координаты вершины параболы
или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент - четное число.
Построим для примера график функции .
Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно
- сначала построить график функции ,
- затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
- затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
- а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:
Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент - четное число.
Выделим в уравнении функции полный квадрат:
Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):
3 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)
Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)
1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции - точки пересечения графика функции с осью ОХ:
(х-2)(х+1)=0, отсюда
3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.
Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:
График квадратичной функции.
Перед вами график квадратичной функции вида .
Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
- ширины графика функции от значения коэффициента ,
- сдвига графика функции вдоль оси от значения ,
- сдвига графика функции вдоль оси от значения
- направления ветвей параболы от знака коэффициента
- координат вершины параболы от значений и :
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:
1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;
Виды уравнений:
a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);
4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2
х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3
Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2
Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2
Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x1=2
x2=-2
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.
Читайте также: