В кондитерской имеется 5 разных сортов пирожных сколькими способами можно выбрать набор из 4
Добавил пользователь Алексей Ф. Обновлено: 18.09.2024
Образовательная : создать условия для развития у обучающихся умения формулировать проблемы, предлагать пути их решения, для формирования системы знаний, связанных с понятиями размещений, перестановок и сочетаний,
Воспитательная : содействовать умению общаться между собой; формировать умения делать обобщения на основе полученных данных в результате исследования,
Развивающая . выбирать правильные утверждения из нескольких данных.
Требования к знаниям и умениям:
1.Знать: понятие предмета комбинаторика, понятие факториала размещений, перестановок и сочетаний
2.Уметь: находить связь комбинаторики с окружающим миром, решать простейшие комбинаторные задачи.
Тип лекции: информационно – комбинированная
Образовательные технологии: технология сотрудничества
I. Познакомить с историей возникновения комбинаторики
II. Сформулировать правило вычисления с помощью перестановок, размещения, сочетания
Ш. Показать способы применения в повседневной жизни
Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция:
Комбинаторика - это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.
Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры (карты, кости). Широко были распространены лотереи. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр: сколькими способами можно получить данное число очков, бросая 2 или 3 кости или сколькими способами можно получить 2-ух королей в некоторой карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр являлись движущей силой в развитии комбинаторики и далее в развитии теории вероятностей.
Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицы (числа способов выпадения k очков на r костях). Однако, он не учел, одна и та же сумма очков может выпасть различными способами, поэтому его таблицы содержали большое количество ошибок.
Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские математики Блез Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были так же проблемы азартных игр.
Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Я. Бернулли, Г. Лейбница, Л. Эйлера. Однако, и в их работах основную роль играли приложения к различным играм.
Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний, для составления планов производства и реализации продукции и т.д.
Основная часть лекции:
Общие правила комбинаторики.
1. Допустим, что в ящике находится n разноцветных шаров. Произвольным образом вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать? Ответ: n способами.
Распределим эти n шариков по двум ящикам: в первый- m шариков, во второй- k шариков. Произвольным образом из произвольно выбранного ящика вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Из первого ящика шарик можно вынуть m способами, из второго- k способами. Тогда всего способов m+k=n.
1. Сколько двузначных чисел существует?
Решение: Число десятков может быть обозначено любой цифрой от 1 до 9. Число единиц может быть обозначено любой цифрой от 0 до 9. Если число десятков равно 1, то число единиц может быть любым (от 0 до 9). Таким образом, существует 10 двузначных чисел, с числом десятков- 1. Аналогично рассуждаем и для любого другого числа десятков. Тогда можно посчитать, что существует 9 *10 = 90 двузначных чисел.
Решение: Выбор шарика не зависит от выбора кубика, и наоборот. Поэтому, число способов, которыми можно выбрать данную пару равно m*k.
1. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?
Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:
№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)
№2 - Петя - 4 варианта
№3- Денис - 3 варианта
№4- Оля - 2 варианта
№5 - Настя- 1 вариант
Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120
2. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?
Для Пети набор можно набрать 6х8х10=480 способами,
для Васи - 5х7х9=315,
для Коли - 4х6х8=192.
По правилу умножения получаем 480х315х192= 29030400 способами.
Размещениями из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
- число размещений из n по k.
Число размещений из n по k можно определить следующим способом: первый объект выборки можно выбрать n способами, далее второй объект можно выбрать n-1 способом и т.д.
Преобразовав данную формулу, имеем:
Следует помнить, что 0!=1.
1. В первой группе класса. А первенства по футболу участвует 17 команд. Разыгрываются медали: золото, серебро и бронза. Сколькими способами они могут быть разыграны?
Решение: Комбинации команд-победителей отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 17 по 3.
2. Научное общество состоит из 25-ти человек. Необходимо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Комбинации руководящего состава общества отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 25 по 4.
3. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?
Эта задача на размещение
Другой способ решения.
1цвет выбирается из 8 тканей 8 способами
2цвет выбирается 7 способами
3 цвет - 6способами
Используя правило умножения, получаем 8х7х6= 336 способов.
4. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?
Здесь речь идет о размещениях
5. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?
зная формулу размещения, получаем
6. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3.
.
Перестановками без повторений из n элементов называются размещения без повторений из n элементов по n, т.е. размещения отличаются друг от друга только порядком следования элементов.
- число перестановок.
1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что они должны состоять из различных цифр?
Решение: Имеем перестановки из 5 элементов.
2. Сколькими способами можно собрать 6 разноцветных лоскутков в пеструю ленту?
Решение: Имеем перестановки из 6 элементов.
3. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.
Используя понятие факториала, получаем: 6!=720
4. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?
.
Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга только составом элементов.
- число сочетаний из n по k
Элементы каждого из n сочетаний можно расставить k способами.
При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды соединений.
Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках:
а) судья хоккейного матча и его помощник;
б) три ноты в аккорде;
г) две серии для просмотра из многосерийного фильма.
Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да.
Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать:
а) двух дежурных;
б) старосту и помощника старосты?
Решение: а). Порядок выбора двух дежурных не важен, поэтому рассмотрим сочетание
б). Порядок выбора старосты и помощника старосты важен, поэтому рассмотрим размещение
Ответ: а) 276; б)552.
1. Если в полуфинале первенства по шахматам участвует 20 человек, а в финал выходят лишь трое, то сколькими способам и можно определить эту тройку?
Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки, вышедшие в финал, являются сочетаниями из 20 по 3.
2. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов из десяти человек на конференцию?
Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки делегатов являются сочетаниями из 10 по 3.
3 . В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?
Из 15 предметов 5 любых можно выбрать
4. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?
Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.
Число элементарных событий = = 10
Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем:
х = 6
6. В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?
Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно = 15
7. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?
Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети:
=35, число четверок у Вали из 9 дисков - = 126
8. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?
Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 - =70, из 70 рядовых 15 - . По правилу умножения находим число выбора отряда:
10х70х = 700х
9. В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?
Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 - =126, из 7 сапфиров 2 - =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21= 52920
10. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?
В русском языке 9 гласных букв - а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно =36 способами. Из 10 цифр выбрать 3 можно =120 способами.
11. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?
12. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?
Решение. Солдат в дозор можно выбрать
способами, а офицеров способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти любой офицер, то всего имеется способов.
13. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать способами.
Находим по первой формуле
.
1. Что такое комбинаторика?
2. Сформулируйте правило умножения.
3. Сформулируйте правило сложения.
4. Что называется п – факториалом?
5. Что называется размещениями из п элементов по т ?
6. Запишите формулу для подсчёта числа размещений из п элементов по т без повторений (с повторениями).
7. Что называется перестановками из т элементов?
Задания для самостоятельного решения
1. В президиум избрали 3 человека. Каким числом способов они могут распределить обязанности председателя, секретаря и члена?
2. Сколько всех четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7?
3. Сколько существует двузначных чисел, имеющих обе чётные цифры?
4. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
5. Сколько существует шестизначных чисел, которые делятся на 5?
6. Сколько различных натуральных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что любая из цифр в написании числа встречается не более одного раза?
7. Любой телефонный номер состоит из пяти цифр. Сколько всего телефонных номеров, не содержащих других цифр, кроме 1, 2 и 3?
8. Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зелёные и 4 красные лампочки?
9. Сколькими способами можно выбрать четыре монеты из 4-х пятикопеечных и 4-х десятикопеечных монет?
10. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров в 2 вагона?
11. В кондитерской имеется 5 сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из 4-х пирожных?
12. Сколькими способами можно переставить буквы в слове какао , чтобы получились новые слова?
Пусть имеются предметы различных видов предметов, и из них составляются наборы, содержащие элементов. Такие выборки называются сочетаниями с повторением. Их число обозначается .
Теорема: число сочетаний с повторениями может быть вычислено по формулам:
.
Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?
Пример .
Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?
Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:
.
Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?
.
Пример.
В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.
.
Ваш браузер должен поддерживать фреймы Ваш браузер должен поддерживать фреймы--> --> Ваш браузер должен поддерживать фреймы--> --> Ваш браузер должен поддерживать фреймы--> -->
-75%
-овладеть понятием множества и операциями над множествами;
-познакомить с Биномом Ньютона;
-рассмотреть применение комбинаторики к теории вероятности.
- на доске звезды с цифрами, которые показывают уровень сложности задачи (на обратной стороне текст задачи; тексты задач в нескольких вариантах, так как одну и ту же звезду могут выбрать несколько учащихся)
Внимание! Внимание!
Скорей берись за дело!
Даешь соревнование
Смекалистых, умелых.
Уже готово все к сражению
Команды лишь сигнала ждут.
Одну минуточку терпения –
Мы вам представим грозный суд.
Приветствие жюри командами.
О жюри, родное, строгое такое,
Мы хотим пропеть вам
Небольшой романс.
Если станет скучно.
Если станет грустно,
Ты зови, зови к себе всех нас.
Будь же справедливым,
Самым неподкупным
И очко - другое незаметно припиши.
Ведь тебя не зря мы нежно называем
Птичкой на ветвях своей души.
Ведущий 1.
Трудный конкурс впереди, строгое жюри,
Но соперники твои уж не так страшны.
Если будешь помнить ты истину одну –
Смелый и решительный не идет ко дну.
Болельщики, предупреждаем,
Что будет встреча горяча.
И потому мы вам желаем
Болеть без вызова врача.
Ведущий 2.
Учащиеся выбирают звезду, решают задачу, затем берут следующую.
В конце игры жюри подводит итоги, выявляя самых смекалистых. Трое учащихся получают грамоты за призовые места, остальные – сертификат участника. (Можно поощрить учащихся отметками)
II. Задачи.
1 (2 балла). Сколькими способами можно выбрать 6 разных пирожных в кондитерской, где есть 11 разных сортов пирожных?
Ответ. 462 (С11 6 =462)
2 (2 балла). Сколькими способами могут разместиться 5 покупателей в очереди в кассу?
3 (3 балла). Из цифр 0,1,2 составлены всевозможные трехзначные числа без повторения цифр. Сколько получилось чисел?
4 (4 балла). Записать формулу (а + в) 4 .
Ответ. а 4 + 4а 3 в + 6а 2 в 2 + 4ав 3 + в 4 .
5 (5 баллов). За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ. 28800 (2*Р5*Р5 =2 * (120) 2 =2 * 14400 =28800)
6 (4 балла). На собрании должны выступать 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что А должен выступать непосредственно перед Б?
Ответ. 24 (Р4 = 24)
7 (4 балла). Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
Ответ. 1024 (С10 0 + С10 1 + С10 2 + … +С10 10 = 2 10 =1024)
8 (5 баллов). Из 20 сотрудников лаборатории 5 человек должны выехать в командировку. Сколько может быть различных составов отъезжающей группы, если заведующий лабораторией и два ведущих инженера одновременно уезжать не должны?
Ответ.15368 составов (С20 5 – С20 2 =15368)
9 (3 балла). Сколькими способами могут быть присуждены 1-я, 2-я и 3-я премии трем лицам, если число соревнующихся равно 10?
Ответ. 720 (А10 3 = 720)
10 (5баллов). Решить уравнение: Ах 2 – Сх 1 = 0.
11 (4 балла). Из цифр 0, 1, 2, 3, 4 составлены всевозможные пятизначные числа так, в каждом числе нет одинаковых цифр. Сколько получилось чисел?
В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных ?
Никак, перед третьей парой пришли работяги с заводы и всё сожрали.
Нужно найти число сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно
C₃⁹ = 11*10/2 =55
(x^5+6sinx)' = 5х⁴ +6cosx
n=3
m=9
C=11!/(9!*2!)=10*11/2=55
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Читайте также: