Из 250 семян погибло 10 найдите сколько процентов семян взошло
Обновлено: 04.07.2024
Задача 47. В отделении 10 стрелков, из них 3 отличных, 5 хороших и 2 посредственных. Известно, что вероятность попадания в цель отличным стрелком - 0,9, хорошим - 0,8, и стреляющим удовлетворительно - 0,6. Из строя наугад вызывается один стрелок для производства выстрела по цели. Какова вероятность попадания в цель этим стрелком?
Решение. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H1, H2, …, Hn, образующих полную группу (гипотез), в соответствии с Формулой полной вероятности, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А, т. е. P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+…+P(Hn)P(A/Hn)= .
Пусть событие А – стрелок попал в цель. Гипотезы: H1 – стрелок отличный; H2 – стрелок хороший; H3 – стрелок посредственный. Вероятности этих гипотез следующие: ; ; .
Условные вероятности поражения цели по этим гипотезам даны:
P(A/H1)=0,9; P(A/H2)=0,8; P(A/H3)=0,6
Тогда, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность попадания в цель будет равна
P(A)=0,3×0,9+0,5×0,8+0,2×0,6=0,79.
Задача 48. В условиях предыдущей задачи 47 будем считать, что вызванный наугад стрелок произвел выстрел и попал в цель. Требуется определить вероятности, характеризующие его принадлежность к различным категориям стрелков.
Решение. В соответствии с Формулами Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:
В нашей задаче событие А – стрелок попал в цель; гипотезы Н1 – стрелял отличный стрелок; Н2 – стрелял хороший стрелок; Н3 – стрелял посредственный стрелок.
Априорные[1] (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,3; Р(Н2)=0,5; Р(Н3)=0,2. Условные вероятности попадания в цель по этим гипотезам даны: Р(А/Н1)=0,9; Р(А/Н2)=0,8; Р(А/Н3)=0,6. Полная вероятность попадания в цель Р(А)=0,79.
Тогда апостериорные[2] (послеопытные) вероятности гипотез будут равны
Заметим, что сумма вероятностей гипотез после испытания всегда равна единице. Для нашего примера .
Задача 49. Всхожесть семян данного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не менее четырех.
Решение. Воспользуемся Формулой Бернулли. Если производится П независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна Р, а вероятность противоположного события равна Q=1-P, то вероятность Рп(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно Т раз, вычисляется по формуле
Где есть число сочетаний из П элементов по Т.
А) По условию задачи вероятность всхожести семян Р=0,9; тогда Q=0,1; в данном случае П=5 и Т=4. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим
Б) Искомое событие А состоит в том, что из пяти посеянных семян взойдут или четыре, или пять. Таким образом, Р(А)=Р5(4)+Р5(5). Первое слагаемое уже найдено. Для вычисления второго снова применяем формулу (1):
Следовательно, Р(А)=0,328+0,591=0,919.
Задача 50. Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появиться ровно 415 раз.
Решение. Если число испытаний П велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Использование этой формулы становиться практически невозможным. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает суть локальной теоремы Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна Р (Р отлично от нуля и единицы), а число П достаточно велико, то вероятность Рп(т) того, что в этих испытаниях событие А наступит Т раз (безразлично, в какой последовательности) вычисляется приближенно по формуле
Имеются готовые таблицы значений функции J(х) (см. табл. 1 Приложения).
По табл. 1 находим, что J(1,25)=0,1826. Подставив это значение в (2), получим
Задача 51. Среди семян ржи 0,04 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение. Применение асимптотической формулы (2) для случая, когда вероятность Р близка к нулю, приводит к значительному отклонению от точного значения Рп(т). При малых значениях Р (и при малых значениях Q) применяют асимптотическую формулу Пуассона.
Если вероятность появления события А в каждом из П независимых испытаний мала, а число испытаний П достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит Т раз, вычисляется приближенно по формуле
Где L=Пр.
Формулу (3) применяют в тех случаях, когда L£10. При этом чем больше число П И меньше число Р, тем точнее результат по этой формуле. По условию задачи П=5000, Т=5, Р=0,0004. Тогда L=5000.0,0004=2. Применяя (3), получим
Задача 52. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от 330 до 375.
Решение. Формулы Бернулли, Пуассона, асимптотическая формула (2), выражающая суть локальной теоремы Лапласа, позволяют найти вероятность появления события А ровно Т раз при П независимых испытаниях. На практике часто требуется определить вероятность того, что событие А наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, т. е. число Т Определено неравенствами Т1£Т£Т2. В таких случаях применяют интегральную теорему Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна Р (Р отлична от нуля и единицы), а число П достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, вычисляется приближенно по формуле
Имеются таблицы значений функции (см. табл. 2 Приложения). Ф(х) называется функцией Лапласа. Эта функция является нечетной, т. е. Ф(-х)=-Ф(х). Поэтому таблица значений дается только для положительных чисел. Функция Ф(х) является монотонно возрастающей. При неограниченном возрастании Х функция Ф(х) стремиться к 0,5. Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу (4) можно записать так:
По условию П=600, Р=0,6, Т1=330, Т2=375. Находим A И B:
По таблице 2 находим Ф(1,25)=0,3944; Ф(-2,5)=-Ф(2,5)=-0,4938. Подставив эти значения в (5), получим искомую вероятность:
Задача 53. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х)=5; дисперсия D(X)=0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (4,7).
Решение. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией F(X), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (A,B), вычисляется по формуле
Если величина Х распределена по нормальному закону, то
Где А=М(Х) и . По условию S=5, , A=4 и B=7. Подставив эти данные в (6), получим
Задача 54. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) A=40 см, среднее квадратическое отклонение S=0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.
Решение. Если Х – длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (А-D, а+D), где А=40 и D=0,6. Подставив в формулу (6) A=а-D И B=а+D, получим
Подставляя в (7) имеющиеся данные, получим
Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8664.
Главный минус появления этой линии омикрона в том, что обновление вакцин сделано именно под ВА.1. В случае же ВА.2 это может оказаться менее эффективным. Линии омикронов отличаются друг от друга 20 мутациями — это много. То есть появление второй линии омикрона уменьшает возможности для обновленных вакцин победить пандемию.
И еще плохая новость: в Южной Африке ВА.2 тоже начал подниматься. Там прошла первая волна первого омикрона (ВА.1). Когда он схлынул, все порадовались — думали, что наступило затишье. А сейчас вдруг оказалось, что ВА.2, несмотря на огромное количество свежепереболевших, вполне способен там успешно распространяться
Получается, что люди могут болеть по кругу, непрерывно?
Теоретически — да. Не хотелось бы, но возможно.
Допустим, если люди будут болеть по кругу, можно ли гарантировать какой-то минимальный промежуток между болезнями? Или сегодня можно выздороветь от первого омикрона, а завтра уже подцепить второй?
Понимаете, все промежутки измеряются в среднем по популяции. А это как средняя температура в больнице. Но да, уже есть такие люди, которые болели дельтой или другим штаммом, а через месяц после отрицательного ПЦР заразились омикроном.
В среднем же по популяции иммунитет все-таки защищает, какое-то время на передышку после болезни у нас есть.
Если совсем грубо говорить, то вероятность заболеть омикроном в течение месяца после дельты, предположим, составляет два процента. В течение двух месяцев — уже пять процентов. И так далее. Но в какую группу процентов попадет конкретный человек — сказать нельзя
То есть заразиться на следующий день после выздоровления теоретически можно, но шанс небольшой. А чем больше времени проходит после перенесенной болезни, тем выше вероятность реинфекции.
От дельты или других штаммов антитела, полученные после омикрона, могут защитить?
Если вы провакцинировались, но никогда не болели, а потом переболели омикроном, ваши специфические антитела, которые раньше были у вас против стандартного вируса, очень сильно поднимаются. То есть омикрон служит как бы бустером.
В случае, если у вас был иммунитет не вакцинный, а натуральный, потому что вы ранее болели дельтой, альфой или уханьским коронавирусом, после омикрона у вас антитела тоже поднимутся, но не так сильно. То есть омикрон хорошо усиливает вакцинную защиту и меньше усиливает натуральный иммунитет. Вот такие данные к нам приходят из популяции переболевших — в частности, из Англии.
Фото: Vitaliy Timkiv / AP
Некоторые ученые не исключают, что омикрон ВА.2 чаще заражает уже переболевших, особенно штаммом ВА.1. Есть по этому поводу научные данные?
Я пока этого не вижу. Просто думаю, что у нас есть люди с более слабым и более сильным иммунитетом. Возможно, переболевшие ВА.1 с самого начала были более подвержены коронавирусным инфекциям.
Ну, это вряд ли. Вирусы, прилетающие снаружи, будут в меньшинстве по сравнению с вирусами, образующимися внутри. Плюс у этих людей в процессе заболевания формируется иммунитет, помогающий как внутренние вирусы вытеснять, так и от внешних отбиваться.
Почему дети сейчас легче заражаются?
Потому что омикрон научился заходить в клетки напрямую, без того, чтобы задействовать клеточную протеазу TMPRSS2. Этой протеазы много у взрослых, а у детей очень мало. Поэтому раньше дети были более защищенными: коронавирус нуждался в протеазе, чтобы проникнуть в клетки. Для него дети были трудной добычей. Омикрон же научился справляться сам, без участия TMPRSS2. Поэтому для этого штамма дети так же привлекательны, как и взрослые. А поскольку большинство детей не вакцинированы, то теперь представляют для коронавируса легкую добычу.
Фото: Pavel Golovkin / AP
Как вы относитесь к тому, что на фоне омикронных волн многие страны отменяют ковидные ограничения: QR-коды для посещения общественных мест, карантин и прочие?
Ну как? Мера-то вынужденная. Люди устали, потому и отменяют. Это я про локдауны. А что касается QR-кодов, так они никогда не были направлены на снижение передачи вируса. Это было просто средство давления на невакцинированных, чтобы они все же пошли и привились.
Китайские ученые обнаружили в Южной Африке новую разновидность коронавируса — NeoCoV. Откуда он взялся и стоит ли его бояться?
Практически во всех странах регулярно проводятся эпидемиологические обзоры не только у людей, но и у животных. Этим занимаются биологи, они ездят в самые разнообразные места, собирают там образцы.
Летучих мышей много, я сейчас точно не скажу, но примерно 1200-1500 видов. У них так устроен организм, что они являются носителями огромного разнообразия вирусов, которые мышам почти не вредят, и далеко не все из этих мышиных вирусов изучены. Причем многие вирусы пострашнее нашего коронавируса. Биологи давно изучают летучих мышей именно из-за этого. Но раньше, когда ученые открывали какой-то новый вирус у летучих мышей, то писали обычную проходную статью. Такого ажиотажа, как сейчас, это не вызывало. А теперь всем вдруг стало про мышей и вирусы интересно.
Фото: Cindy Liu / Reuters
В свете этого я бы не сказала, что NeoCoV представляет какую-то дополнительную опасность, которая раньше отсутствовала. Вокруг нас много пакостей. Мы их не замечаем часто, но биологи про эти опасности говорят давно. Надо за ними следить, мониторить, выделять деньги на экспедиции.
Однако сейчас было бы правильно в первую очередь проследить за тем, как себя ведет в природных очагах наш SARS-CoV-2, какие популяции животных уже содержат этот вирус, как он у них мутирует и стоит ли ждать сюрпризов. Например, омикрон научился заражать грызунов. В Северной Америке SARS-CoV-2 нашли у оленей. Это вообще-то сногсшибательная новость, потому что человек и олени очень далеки друг от друга. Формируются природные изоляты вирусов.
От мышей не скроешься. А это значит, что нам надо за ними следить, наладить обзоры, примерно как на чумных станциях. Пора начинать этим заниматься.
Читайте также: