Фирма выпускает два набора удобрений для газонов обычный и улучшенный excel

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 18.09.2024

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входят 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Работа содержит 1 файл

эмм.doc

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

1. Составим экономико- математическую модель задачи.

Обозначим х₁ – количество обычного набора удобрений, а х₂ – количество улучшенного набора, которое требуется купить.

По смыслу переменные не отрицательны: х₁≥0, х₂≥0.

Учитывая установленные ограничения и необходимое количество удобрений получим систему неравенств:

Общие затраты должны быть минимальными:

Итак, экономико-математическая модель задачи получена.

Составить суточный план выпуска Х(х₁, х₂), стоимость которого максимальна

и выполнены ограничения:

2. Для решения задачи используем графический метод.

2.1. Построим область допустимых решений.

Неравенства х₁≥0, х₂≥0 задают первую координатную четверть в плоскости Ох₁х₂.

Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 3х₁+2х₂≥ 10.

Построим прямую L₁: 3х₁+2х₂=10. Она проходит через точки (0; 5) и (10/3;0).
Определим, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству - выбираем любую точку на плоскости, не принадлежащую прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, тоже удовлетворяет неравенству. Для подстановки в неравенство удобно использовать начало координат. Подставим х₁ = х₂ = 0 в неравенство 3х₁+2х₂=10. Получим 3∙0+2∙0≥10. Данное утверждение является неверным, следовательно, неравенству 3х₁+2х₂≥10 соответствует верхняя полуплоскость, не содержащая точку (0, 0).

Рассуждая аналогично, построим полуплоскость, определяемую неравенством 4х₁ +6х₂ ≥ 20. Строим прямую L₂, проходящую через точки (0; 10/3) и (5; 0). Так как 4∙0+6∙0 использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

определить, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида;

оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации продукции, получить оптимальный план выпу ска продукции.

1.1. Построим математическую модель прямой задачи.

х₁ - объем производства продукции А,

х₂ – объем производства продукции B,

х₃ – объем производства продукции C.

х₄ – объем производства продукции D.

Построим функцию цели. Если реализовать х₁ продукции А по цене 5 ден. ед., то выручка составит 5х₁ ден. ед. Аналогично для других видов продукции. Следовательно, целевую функцию (выручка предприятия) можно записать в виде:

Исходя из требования максимизации выручки:

Построим систему ограничений. Так как расход ресурсов не может превышать запасов, которым располагает предприятие, получим систему неравенств:

По смыслу задачи ясно, что переменные могут принимать лишь неотрицательные значения, т.е.

Теперь можно сформулировать математическую модель задачи:

и выполняются ограничения

1.2. Решим задачу с помощью настройки Поиск решения в среде MS Excel.

На листе Excel обозначим искомые переменные х₁, х₂, х₃, х₄ и зарезервируем ячейки для их значений (изменяемые ячейки), оставим эти ячейки пустыми.

Обозначим целевую функцию F, введем в отдельные ячейки ее коэффициенты c₁, c₂, c₃, с₄, а в свободную ячейку (целевая ячейка) – формулу для вычисления значения этой функции (функция СУММПРОИЗВ со ссылкой на ячейки значений коэффициентов и переменных).

Для каждого ограничения задачи заполним коэффициенты левых частей неравенств a_ij, в свободные ячейки введем формулы для вычисления их значений (СУММПРОИЗВ), укажем знак неравенства ( =, или =) и величину его правой части b_i.

Вызовем программу Поиск решения и укажем данные для расчета.

Чтобы не вводить для каждой переменной смысловые ограничения х_j≥0 можно воспользоваться окном "Параметры" поиска решений, выделив

Задача 1. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость? Построить экономико - математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Содержание работы

Файлы: 1 файл

ммм резванова.doc

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Специальность Бакалавр Экономики

Студент Резванова Элина Марфельевна

Группа № ФБ-ЭФ 303

Личное дело № 10ФФД20283

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико - математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Нормы расхода сырья на одно изделие

Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья І и ІІ видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья ІІІ вида;
Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Номер наблюдения (t=1, 2, . 9)

Проверить наличие аномальных наблюдений.
Построить линейную модель Ŷ(t) = a0 +a1t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t) = a0 + a1k с параметром сглаживания α = 0,4 и α = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S – критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использования компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Составим экономико – математическую модель.

І набор – обычный

ІІ набор – улучшенный

Необходимый min для 1 газона

Число кг в 1 наборе

Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед.

Обозначим через X и Y количество обычных и улучшенных наборов удобрений, соответственно.

Составим целевую функцию и систему ограничений.

F( x) = 3x + 4y → min

По ограничениям строим область всех допустимых решений.

а) Определим множество решений 1-го неравенства. Построим линию по точкам: (0;5) и (2;2). Т. к. 3 * 0 + 2 * 0 = 0

Оптимальное решение задачи: x1 = 80; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 10;

Fmax = 5 * 80 + 7 * 0 + 3 * 0 + 6 * 10 =460 ден. ед. ‾‾‾‾‾‾‾‾‾

По оптимальному плану следует производить изделия типа А и Г. Изделия типа Б и В убыточны, затраты на ресурсы превышают цену изготовления из них изделий.

Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план.

G(y) = 200 y1 + 160 y2 + 170 y3 →min

2 y1 + y2 + 2 y3 ≥ 5;

y1 + 2 y2 + 4 y3 ≥ 7;

3 y1 + 4 y2 + y3 ≥ 3;

2 y1 + 8 y2 + y3 ≥ 6;

Координаты Xmax подставляем в 1 систему. Получаем:

2 * 8 0 + 0 + 3 * 0 + 2 * 10 = 180 0 и х₄ > 0, то

2y1 + y2 + 2y3 = 5; 0 + y2 + 2y3 = 5; y3 = 34/15;

2y1 + 8y2 + y3 = 6 0 + 8y2 +y3 = 6 y2 = 7/15

Y оптим. = (0; 7/15; 34/15)

При подстановке Y оптим. в целевую функцию получается, что G min = 200 * 0 + 160 * 7/15 + 170 * 34/15 = 460.

Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

Недефицитным оказалось сырье I типа, поскольку y1 = 0. Острее ощущается дефицитность сырья III типа (yз =34/15), чем сырья II типа (y2 =7/15). Увеличение запаса сырья II и III типа на 1 ед. приведет к росту прибыли, изменение запаса сырья I типа не влияет на выручку.

Определим, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 ед. соответственно и уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида.

Допустим, что изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, т.е. структура оптимального плане не изменится и х₂ = х₃ = 0

x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 = 160+10, x1 +8x₄ =170 , х4 = 35/3,

2х1 +4x2 ++ x3 + х₄ = 170 – 5. 2x1 + x4 = 165. x1 = 230/3

F_max = 5*230/3 + 7*0 + 3*0 + 6*35/3 = 1360/3

Выручка уменьшилась на 460 -1360/3=20/3 ден. ед.

Фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В каждый набор входят азотные, фосфорные и калийные удобрения. Доля каждого типа удобрения в наборах представлена в таблице:
Тип набора Доля (в кг)
Азотных Фосфорных Калийных
обычный 3 4 1
улучшенный 2 6 2

Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 долл, а улучшенный – 4 долл. Сколько и каких наборов удобрений надо купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Рацион кормления коров на молочной ферме может состоять из трех продуктов: сена, силоса и концентрата. Данные продукты содержат несколько питательных веществ: белок, кальций, витамины. Содержание питательных веществ в продуктах приведено в таблице.

В расчете на одну корову суточные нормы потребления белка составляют не менее 2000 г., кальция – не менее 210 г. Потребление витаминов строго дозировано и должно быть равно 87 мг в сутки.

Оформите данные и результаты решения в виде таблицы.

Задачи часть 2

Самостоятельно решите следующие задачи

1. Конфеты можно производить в любых количествах (сбыт обеспечен), но запасы сырья ограничены. Необходимо определить, каких конфет и сколько десятков килограмм необходимо произвести, чтобы общая прибыль от реализации была максимальной.

3. Для изготовления сплава из меди (Cu), олова (Sn) и цинка (Zn) в качестве сырья используют три сплава тех же металлов, отличающихся составом и стоимостью. Данные об этих сплавах приведены в таблице. Получаемый сплав должен содержать не более 4 кг меди, не менее 2,5 кг олова, а содержание цинка может составлять от 4 до 13 кг. Всего надо приготовить 13кг сплава. Определить количества Xj, (j = 1, 2, 3) сплавов каждого вида, обеспечивающие получение нового сплава с минимальными затратами на сырье.

4. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 70% олова и 30% свинца, второй — 80% олова и 20% цинка, третий — 50% олова, 10% свинца и 40% цинка. Из них необходимо изготовить новый сплав, содержащий 15% свинца. Какое наибольшее и наименьшее процентное содержание олова может быть в этом сплаве? (задача из варианта вступительного экзамена по математике на экономический факультет МГУ)

1. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный - 4 ден. Ед. какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

1 составим математическую модель:

Обозначим через x_j количество кг удобрения

x₁- количество кг обычного удобрения;

x₂- количество кг улучшенного удобрения.

Цель - наименьшая стоимость удобрения,

По азотным удобрениям 3х₁+2х₂?10

По фосфорным удобрениям 4х₁+6х₂?20

По калийным удобрениям 1х₁+3х₂?7

Решим графическим способом.

Первое ограничение (по азоту) имеет вид 3х₁+2х₂?10 найдем пересечение с осями координат, т. е. 3х₁+2х₂=10 - l₁

Цель максимизировать выручку от реализации готовой продукции

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск Решения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.

Полученное решение означает, что максимальную выручку 460 ден ед, можем получит при выпуски 80 ед продукции А и 10 ед продукции Г. При это ресурсы 2 и 3 типа будут использоваться полностью, а из 200 ед сырья 1 типа будет использоваться 180 ед сырья.

Сформулируем экономико-математическую модель двойственной задачи

у1- двойственная оценка ресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,

у2- двойственная оценка ресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,

у3- двойственная оценка ресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.

Вы исходной задачи четыре переменных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности:

В нашей задачи х1=800 и х4=100, поэтому первое и четвертое ограничение двойственной задачи обращаются в равенство:

Проверим выполняемость первой теоремы двойственности:

В нашей задачи в план выпуска не вошла продукция Б и В, потому что затраты по ним превышают цену на 3 ден ед (10-7=3) и 1,133 ден ед (4,1333-3=1,133) соответственно.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения у:

Так как запас ресурсов 1, 2 типа сырья изменяться на 8 и 10 единицы (увеличиться) и 3 типа уменьшаться на 5 единиц. Из теоремы об оценках известно, что колебание величины b_i приводит к увеличению или уменьшению F.

F=8*0+10*7/15+(-5)*34/15=-6,667, следовательно, увеличение запасов ресурсов 1 и 2 типа на 8 и 10 ед. и уменьшение 3 типа на 5 ед приведет к уменьшению значения целевой функции на -6,667 ден ед.

По условию задачи для изготовления изделия Д используется:

Ожидаемая прибыль от данного изделия Д с*=10 ден ед.

Для оценки целесообразности продукта Д, рассчитаем чистый доход

следовательно, целесообразно включать в план изделие Д, т.к. е=4,5330.

3. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида, третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителями, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции У.

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Читайте также: