На столе лежат 25 яблок и 13 груши сколькими способами можно выбрать один фрукт

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 24.09.2024

Комбинаторные задачи – это задачи, требующие осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа.

Правило суммы. Пусть некоторый объект A можно выбрать nn различными способами, а другой объект B можно выбрать m способами. Тогда существует n+mn+m способов выбрать либо объект A, либо объект B.

Задача. На подносе лежат 5 яблок и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать фрукт с подноса?

Решение. Яблоко можно выбрать пятью способами. Грушу можно выбрать тремя способами. Стало быть, один из этих фруктов можно выбрать 5 + 3 = 8 способами.

Правило произведения. Пусть объект A можно выбрать n способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать m способами. Тогда выбор пары (A,B) можно осуществить nm способами.

Задача. Имеются три города: A , B и C . Из A в B ведут три дороги, из B в C — пять дорог. Сколько различных путей ведут из A в C ? Прямого пути между A и C нет.

Решение. Обозначим дороги буквами и цифрами. Именно, дороги из A в B назовём a , b , c ; дороги из B в C назовём 1, 2, 3, 4, 5.

Всего получилось 3 · 5 = 15 маршрутов. Как видим, число маршрутов равно произведению числа дорог из A в B на число дорог из B в C .

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ

СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ МНОЖЕСТВ

ПОНЯТИЕ СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ. ВЗАИМНООДНОЗНАЧНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ. РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА.

Соответствием между множествами Х и Y называется любое подмножество R декартова произведения множеств Х и Y, обладающее следующими тремя свойствами:

1) каждому элементу множества X соответствует один и только один элемент множества Y;

2) двум различным элементам множества X всегда соответствуют два различных элемента множества Y;

3) всякий элемент множества Y соответствует хотя бы одному элементу множества X.

Заметим, что первые два свойства дают взаимно однозначные отображения X на некоторое подмножество Y. В этом случае говорят о взаимно однозначном отображении X в Y.

Два множества X и Y, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются равномощными (или эквивалентными), что обозначается символом .

О равномощных множествах говорят также, что они имеют одинаковую мощность. Условимся считать, что пустое множество равномощно только самому себе.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ОДНОГО МНОЖЕСТВА.

ПОНЯТИЕ ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ. СВОЙСТВО ОТНОШЕНИЙ.

Множество – определенная совокупность объектов.

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества .

Множество домов на данной улице, множество натуральных чисел, множество студентов группы и т. д.

Отношением (бинарным отношением, двуместным отношением)из множества A в множество B называется некоторое подмножество декартового произведения

Отношения в дальнейшем будем обозначать

(читается отношение из A в B)

Если , и , то говорят, что a находится в отношении с b. Используется также запись

Если отношение из A в A ( ), то говорят бинарное отношение на множестве A .

n -арным отношением на множестве А, называется некоторое подмножество n-ой степени множества A.

, − n-арное отношение на множестве А.

Виды бинарных отношений на множестве A

1) Обратное отношение .

4) Универсальные .

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.004)

120 № 5912

На блюде лежат 7 яблок, 3 груши и 4 апельсина. Найдите количество способов, которыми можно взять с блюда: а) один плод; б) яблоко и грушу; в) выбрать яблоко и апельсин; г) выбрать грушу и апельсин; д) выбрать два фрукта с разными названиями?

а) Всего на блюде 7 + 3 + 4 = 14 фруктов, один из них можно взять 14 способами.

б) Вместе с каждым из 7 яблок можно взять одну из 3 груш, поэтому всего способов взять яблоко и грушу 7 · 3 = 21.

в) Вместе с каждым из 7 яблок можно взять один из 4 апельсинов, поэтому всего способов взять яблоко и апельсин 7 · 4 = 28.

г) Вместе с каждой из 3 груш можно взять один из 4 апельсинов, поэтому всего способов взять грушу и апельсин 3 · 4 = 12.

д) Чтобы получить количество способов выбрать два фрукта с разными названиями, нужно сложить количество способов из пунктов б), в) и г). Получим 21 + 28 + 12 = 61 способ.

Комбинаторика– раздел математики, в котором исследуется, сколько всевозможных комбинаций (вариантов), подчиненных тем или иным условиям их образования, можно составить из элементов данного множества.

Для того, чтобы узнать количество комбинаций, обладающих определенными свойствами, можно сначала перечислить их и затем пересчитать. В большинстве случаев такой способ определения комбинаций занимает много времени, поэтому в комбинаторике, которая обслуживает теорию вероятностей, рассматривают несколько видов комбинаций: перестановки, размещения и сочетания. Эти виды комбинаций можно пересчитать по специальным формулам или с помощью основных правил комбинаторики, т.е. без непосредственного перечисления вариантов.

Правило суммы. Если элемент первого типа можно выбрать k₁ способами, элемент второго типа – k₂ способами, …, элемент s-ого типа – k_s способами, то один элемент можно выбрать k₁ + k₂ + … + k_s способами.

Правило произведения. Если элемент первого типа можно выбрать k₁ способами, элемент второго типа – k₂ способами, …, элемент s-ого типа – k_s способами, то выбрать по одному элементу каждого типа можно k₁ × k₂ × … × k_s способами.

Пример 1. В мешке 6 груш, 4 яблока, 3 киви и 7 мандаринов. Сколькими способами можно выбрать один фрукт?

Решение. По правилу суммы: 6 + 4 + 3 + 7 = 20 способами.

Пример 2. На каникулы школьник получил задание: выучить доказательство любой из шести теорем, прочитать один из семи романов, написать сочинение по одной из четырех тем. Сколькими способами можно выполнить задание?

Решение. По правилу произведения: 6 × 7 × 4 = 168 способами.

Определение 1. Размещениями без повторений называют упорядоченные k-элементные подмножества n-элементного множества, содержащие различные элементы. Их количество обозначают символом (буква А от французского слова arrangement – размещение).

Определение 2. Размещениями с повторениями называют всевозможные упорядоченные k-элементные подмножества n-элементного множества. Их количество обозначают символом .

Теорема 1.Число размещений без повторений (с повторениями) вычисляется по формуле

Пример 3. В непрозрачном мешке шесть фишек пронумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Перемешав фишки извлекают по одной четыре и выкладывают в ряд. Получившееся число записывают, фишки возвращают в мешок и процедуру повторяют. Сколько чисел может получиться?

Решение. Элементы различные и располагаются упорядоченно (цифры четырехзначного числа), следовательно, общее число чисел равно = 6!/(6 – 4)! = 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Пример 4. Последовательность четырех клеток закрашена четырьмя разными красками (одна клетка – одной краской). Сколько можно образовать четырехклеточных последовательностей, если для закрашивания можно использовать семь красок, и одной краской можно закрасить любое число клеток?

Решение. Из семи элементов образуются четырехэлементные наборы, в которых элементы могут повторяться. Обще число четырехэлементных последовательностей равно .

Определение 3. Перестановками из n элементов без повторений называют размещения без повторений из n элементов по n. Их количество обозначают Р_n (буква Р от французского слова permutation – перестановка).

Определение 4. Перестановками с повторениями состава (k₁, k₂, …, k_n) из элементов а₁, а₂, …, а_n называют упорядоченные множества из k = k₁ + k₂ + … + k_n элементов, в каждое из которых элемент а₁ входит k₁ раз, элемент а₂ – k₂ раз, …, элемент а_n – k_n раз. Их количество обозначают Р (k₁, k₂, …, k_n).

Теорема 2. Число перестановок без повторений (с заданным числом повторений) вычисляется по формуле

Пример 5. Сколько чисел можно получить, переставляя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Решение. Р₆ = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 чисел.

Определение 5. Сочетаниями из n элементов по k без повторений называют неупорядоченные k-элементные подмножества n-элементного множества, содержащие различные элементы. Их количество обозначают (буква С от французского слова combination – комбинация).

Определение 6. Сочетаниями из n-элементов по k называют всевозможные неупорядоченные k-элементные подмножества n-элементного множества. Их количество обозначают

Теорема 3.Число сочетаний без повторений (с повторениями) вычисляется по формуле

Пример 7. Сколькими способами можно составить команду из пяти человек для соревнования по плаванию, если имеются восемь пловцов?

Решение. способами.

Пример 8. Сколькими способами можно разложить 20 одинаковых конфет по 5 разным мешкам?

Решение. способами.

Для того, чтобы безошибочно различать виды комбинаций (перестановки, размещения и сочетания) следует применять следующие алгоритмы:

Комбинаторные задачи не всегда рассчитаны на одну формулу, а чаще всего на применение нескольких формул или правил комбинаторики.

Пример 9. В мешке 25 шаров: 4 красных, 6 синих, 7 зеленых и 8 желтых. Сколькими способами можно достать 4 шара так, чтобы среди них были хотя бы три одинаковых?

Вопрос по математике:

На тарелке лежат яблоко груша апельсин.надо выбрать один фрукт.сколькими способами это можно сделать? Реши аналогичную задачу изменив число выбираемых фруктов:2 плода,3 плода.Рассмотри все варианты решения.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок - бесплатно!

22.09.2017 08:21
Математика
remove_red_eye 13970
thumb_up 43

Ответы и объяснения 1

Дано: 3 фрукта: яблоко, груша, апельсин.
1. Выбрать один фрукт из 3-х:
яблоко или груша или апельсин - 3 способа
2. Выбрат 2 фрукта из 3-х:
яблоко и груша, или груша и апельсин, или яблоко и апельсин - 3 способа
3. Выбрать 3 фрукта из 3-х:
яблоко и груша и апельсин - 1 способ

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи - смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

Читайте также: