Всхожесть семян равна 90 для опыта отбирают 6 семян
Добавил пользователь Евгений Кузнецов Обновлено: 19.09.2024
Схемой Бернулли называются повторные независимые испытания с двумя исходами и в каждом испытании и с вероятностями этих исходов, не меняющимися от испытания к испытанию.
Вероятность наступления события A в каждом испытании обозначается через p: , тогда . Пусть m – число наступлений события A в n испытаниях; – вероятность того, что частота появлений события A равна m. Эта вероятность определяется по формуле Бернулли:
Иногда необходимо найти наивероятнейшее число m0, то есть число испытаний, при котором достигается максимальная вероятность в n независимых испытаниях. Наивероятнейшее число m0числа наступления события А при проведении n повторных независимых испытаний является целым числом и находится в интервале, который можно найти по формуле:
Вероятность того, что событие А наступит не менее раз и не более раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, можно найти по формуле:
Вероятность того, что событие А наступит хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, можно найти по формуле:
Примеры.
1. Производится 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна . Найти вероятность того, что событие А появится: а) 2 раза; б) не менее одного раза.
Решение: а) имеем , а значит
б) воспользуемся свойством: сумма вероятностей событий, составляющих полную группу, равна единице. На основании этого свойства вероятность появления события А не менее одного раза равна , где – вероятность появления события А во всех шести опытах; эта вероятность определяется по формуле Бернулли: ,
Ответ: а) 0,33; б) 0,09.
2.Всхожесть семян составляет 95 %. Отбирается 6 зерен. Какова вероятность того, что дадут всходы: а) 5 зерен из шести; б) не менее 5 зерен; в) хотя бы одно зерно.
Решение. Производится 6 независимых испытаний (посадка зерен). Каждое испытание имеет два исхода: зерно взойдет, зерно не взойдет. Вероятность всхожести зерна одинакова и равна 0,95, т.е. . Таким образом, мы имеем дело со схемой Бернулли,
а) событие A: . Здесь . Получаем по формуле Бернулли:
в) обозначим событие С: , то есть один и больше, символически . Применяя в этом случае формулу Бернулли и теорему сложения вероятностей, мы получим громоздкие вычисления. Воспользуемся формулой
. Это значит, что при высокой всхожести семян практически достоверно иметь число не меньше одного.
Ответ: а) 0,23; б) 0,96; в) 1.
4.Вероятность изготовления на автоматическом станке детали без брака равна 0,8. Найти вероятность возможного числа появления бракованных деталей среди 5-ти отобранных.
Решение. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,2. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли
5.По данным предыдущего примера найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных и вероятность этого числа.
Решение. Здесь Имеем:
или . Следовательно, , а его вероятность = 0,4096.
Ответ: 1; 0,4096.
6.Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?
Решение. В данном случае вероятность выпадения тройки равна , т.е. . Согласно неравенству, или , откуда , то есть необходимо подбросить кость от 59 до 64 раз включительно.
Ответ: от 59 до 64 раз.
7.В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене будет продано: а) менее 2-х пакетов; б) не более 2-х; в) хотя бы 2 пакета; г) наивероятнейшее число пакетов.
в) . Эту вероятность можно найти проще, если перейти к противоположному событию, то есть ;
г) наивероятнейшее число проданных акций по первоначально заявленной цене определится из условия: , то есть или , то есть наивероятнейших чисел 1. Поэтому вероятность
Ответ: а) 0,436; б) 0,738; в) 0,564; г) 0,301.
Задачи для самостоятельного решения
2.Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из 5-ти посеянных семян взойдут не менее 4-х? (0,7373).
3.В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы. (а) 0,246; б) 0,26; в) 0,000064).
4.Событие В появится в случае, если событие А появится не менее 2-х раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4. ( ).
5.Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз. (а) ; б) ).
6.Пусть всхожесть семян составляет 99 %. Чему равна вероятность того, что из 7-ми посеянных семян взойдут 5? (0,0019).
7.Игральная кость брошена 10 раз. Найти вероятность выпадения двойки 8 раз. (0,155).
8.В отделе снабжения работают 12 человек. При существующем режиме работы вероятность того, что человек в данный момент времени находится на рабочем месте, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 человек находятся на рабочем месте. (0,2834).
9.Вероятность попадания снаряда в цель равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность, по меньшей мере, одного попадания в цель была больше, чем 0,9? (4).
11.В партии смешаны детали двух сортов: 80 первого и 20 % второго сорта. Сколько деталей первого сорта с вероятностью 0,0967 можно ожидать среди 100 наудачу взятых деталей? (80).
12.Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий. (2; 0,5).
13.Вероятность попадания в цель при каждомвыстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20? (24 или 25).
14.В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектна. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) менее трех. (а) 0,201; б) 0,678).
15.В среднем по 15 % договоров страховая компания выплачивает страховые суммы. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров. (а) 0,1298; б) 0,544).
16.Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятно: а) выиграть 2 партии из 4-х или 3-х партии из 6-ти; б) не менее 2-х партий из 4-х или не менее 3-х партий из 6-ти? (2 партии из 4-х, так как 0,375 0,656).
17. Два баскетболиста делают по 3 броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) у обоих будет одинаковое количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго. (а) 0,321; б) 0,243).
18.Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной, равна 0,1? (55).
19.Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров . (8).
20. Пусть вероятность того, что денежный автомат при опускании одной монеты сработает неправильно, равна 0,03. Найти наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата, если в него будет опущено 150 монет. (146).
21.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Сколько надо произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,99 в мишени была хотя бы одна пробоина? ( ).
22.Число длинных волокон в партии хлопка составляет в среднем 0,6 общего количества волокон. При каком общем количестве волокон хлопка наивероятнейшее число длинных волокон окажется равным 20? (33 или 34).
23.Сколько раз следует стрелять из орудия, чтобы при вероятности попадания р = 0,9 наивероятнейшее число попаданий оказалось равным 17? (19).
7.2. Формула Пуассона
При рассмотрении примеров для больших n и m вычисление вероятностей по формуле Бернулли представляют значительные затруднения, становятся громоздкими. В этом случае применяются приближенные формулы, позволяющие с достаточной степенью точности найти эти вероятности.
Если число испытаний достаточно велико, а p мало и при этом произведение не больше 10, то вероятность можно приближенно найти по формуле Пуассона:
Примеры.
1.С базы в магазин отправлено 4000 баночек с горошком. Вероятность разбить банку в пути равна 0,0005. Найти вероятность того, что в магазин прибудет от 3 до 5 разбитых банок.
Решение. Воспользуемся формулой Пуассона и, учитывая, что , находим:
Ответ: 0,3068.
2.Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) ровно две опечатки; в) не менее двух опечаток.
Решение: по условию задачи
, то будем применять формулу Пуассона,
Ответ: а) 0,635; б) 0,1839; в) 1/е.
3.В новом микрорайоне поставлено 10 000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течении месяца равна 0,0002. Найти вероятности того, что за месяц откажут два, три и пять замков.
Решение. Используем формулу Пуассона: , где . В нашем случае . Тогда ; ;
Ответ: 0,27; 0,18; 0,036.
4.На факультете обучается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?
Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна . Так как – мала, n = 1825 – велико и , то применяем формулу Пуассона: .
Ответ: 0,1755.
5.Телефонный коммутатор обслуживает 2000 абонентов. Для каждого абонента вероятность позвонить в течение часа равна 0,0025. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят на коммутатор: а) три абонента; б) не менее четырех абонентов.
Решение: дано: а) . Воспользуемся формулой Пуассона: , где . Итак: ;
б) пусть событие А: . Рассмотрим противоположное событие : . Тогда вероятность искомого события можно определить по формуле: .
Для события имеем: . Найдем вероятность: Тогда искомую вероятность найдем по формуле:
. Вероятности, входящие в эту формулу, найдем по формуле Пуассона: , ,
, . Тогда искомая вероятность равна:
Ответ: а) 0,1404; б) 0,735.
Задачи для самостоятельного решения
1.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000. (0,95957).
2.Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов? (0,15629).
3.Среднее число самолетов, прибывших в аэропорт за 1 мин, равно 3-м. Найдите вероятность того, что за 2 мин прибудут: а) не менее 3-х самолетов; б) не более 2-х; в) 4 самолета. (а) 0,938; б) 0,062; в) 0,134).
4.В партии из 2000 гаек имеются 30 с браком в нарезке. Для контроля взяты наудачу 100 гаек. Найти вероятность того, что среди них: а) нет бракованных; б) число бракованных гаек меньше двух. (а) 0,223; б) 0,558).
5.В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) три ошибочно укомплектованных пакета; б) не более трех пакетов. (а) 0,054; б) 0,522).
6.Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено: а) ровно 4 пары; б) ровно 5 пар.(а) 0,09; б) 0,036).
11.Владельцы кредитных карточек ценят их и теряют их крайне редко. Пусть вероятность потерять в течение недели кредитную карточку равна 0,001. Всего банк выдал карточки 2000 клиентам. Найти вероятность того, что в течение недели будут потеряны: а) хотя бы одна; б) ровно одна кредитная карточка. (а) 0,86466; б) 0,27067).
Задача 6. Всхожесть семян данного растения составляет 90%, Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700.
Вариант 14. Задание 6.
Всхожесть семян данного растения составляет 90%, Найти вероятность того, что из
800 посеянных семян взойдет не менее 700.
0! можно принять за единицу. А лучше считать без этой формулы.
Чему равна вероятность того, что событие произойдет n раз? Очевидно, p^n.
Антон, извините, занятия идут, ерунду написал.
Не менее трех это 3 или 4.
Т.е. надо было сложить p4(3)+p4(4)=0,2916+0,9^4=0,9477.
А я сначала прочитал не более 3.
Задайте свой вопрос по высшей математике
профессионалам
Другие вопросы на эту тему:
Помогите решить задачу по теории вероятности
Берём универсальный генератор случайных чисел – монету. Вероятность выпадения орла/решки составляет 50/50.
Но затем берём 2 монеты и подбрасываем их вместе/одновременно. Возможны 2 результата от подбрасывания:
1) выпавшие стороны совпали (комбинация №1)
2) выпавшие стороны отличаются (комбинация №2).
Вопрос: какова вероятность того что в следующий раз выпадет комбинация 1 или 2? Зависит ли это от того, сколько…
Решить задачу. Решила двумя способами, нужен третий
Помогите решить задачу. Решила двумя способами, преподаватель сказал, что нужен еще третий. Понятия не имею, как решать.
Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в среднем в неделю 400 граммов веса. Случайным образом отобраны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем они сбросили 430 граммов при исправленном среднем квадратическом…
Теория вероятности
1)Из урны,содержащей 2 белых и 2 красных шара, последовательно вынимают 2 шара(без возвращения, с распределением) . Построить множество исходов данного эксперимента в случае : а) шары одного цвета не различимы по виду ; б) шары одного цвета различимы по виду (пронумерованы).
Задачи на поток событий
Дан простейший поток событий, интенсивность которого составляет 15
событий в минуту.
Найти:
1.1. Среднюю длину отрезка времени между последовательными собы-
тиями.
1.2. Вероятность того, что интервал времени между последовательными
событиями составит от 8 до 12 секунд.
2. Ателье по ремонту бытовой техники имеет четырехканальную телефон-
ную линию. Интенсивность потока входящих…
Задача по теории вероятности / теории игр
Помогите, пожалуйста!
отдавала в контору задчу эту, даже там не могли помочь, преподаватель не понял ничего и отказались мне делать!:(
Очень нужно, задача по теории вероятности / теории игр!
Рассмотрим игру 2х лиц с неполной информацией. Игроки здесь продавец и покупатель. Каждый из них обладает приватной информацией о своей резервной цене, которую не знает другой игрок. Резервная цена — это цена, которую готов заплатить покупатель. Для…
Случайные вероятности, срочно!
помогите пожалуйста решить задачу:
в лотерее 90 билетов разыгрываются два выйграша на сумму 70 руб. и 3 на 50 руб. стоимость билета 10 руб. составить закон распределения суммы чистого выйграша для лица, купившего два битела
Всем добрый день. Вот порешал задачки, но не уверен в их правильности.
Задача 1. В телефонном номере три последние цифры стерлись. Считая, что все возможные значения стершихся цифр равновероятны, найти вер-ть события: среди стершихся хотя бы две различны.
Решение:
Задача 2. В первой урне содержится 1 белый и 2 черных шара. Во второй 4 белых и 1 черный шар. В третью урну кладут один шар, случайно выбранный из первой урны и один шар, случайно выбранный из второй урны. Найти вер-ть извлечь белый шар из третьей урны.
Решение:
=
Получается будет три гипотезы:
=
=
=
Далее я не уверен, что я нашел. То ли или
Я рассуждал так. Что вытащить 1 белый шар из урны где оба шара черных =0, т.е. ,
Там получается так, что либо белый шар будет из 1 урны, а второй черный из 2ой или 1 шар черный из первой урны, а второй шар белый из второй урны.
т.к. вер-ть вытащить 1 белый шар из 2ух белых шаров равна 1.
Ну и наконец искомая вероятность:
Задача 3.
Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70%. Найти вероятность того, что из 700 посаженных семян число проросших будет больше 450.
Вот эту задачу, у меня так и не получилось раскрутить. Я так понимаю нужно исп интегральную ф-лу Муавра Лапласа. Вот мой ход решения.
Подставляю в формулу, и получается:
Но ведь значения ф-ции нету, для , значит где-то ошибка, но я не могу понять, что я делаю не так.
Проверьте, пожалуйста, решение двух простеньких задачек
1) В урне находится 7 белых и 4 черных шара. Случайным образом и без возврата вытаскивают 4 шара.
Проверьте правильность решения, пожалуйста
Только начал изучение, поэтому очень сомневаюсь в своем решении. Задача такая: в ящике 9.
Проверьте,пожалуйста,решение
В урне 2 шара,которые могут быть как черного так и белого цвета. В урну положили черный шар. Затем.
Проверьте решение, пожалуйста
Задача: Корпорация включает в себя пять заводов в разных странах мира. Процент брака в компаниях.
Читайте также: