Сколькими способами 6 человек могут встать в очередь на посадку в автобус
Добавил пользователь Владимир З. Обновлено: 19.09.2024
1) В автомашине 7 мест. Сколькими способами 7 человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только 3 из них.
На место водителя может сесть один из 3-х человек, т.е. всего 3 способа, остальные 6 человек размещаются на 6-ти местах 6!=720 способами. Тогда всего существует 720*3=2160 способов размещения.
2) Сколько чисел заключающихся между 1000 и 9999, содержат число 3?
Кол-во чисел, у которых первая цифра 3: 999
Вторая: 99*9
Третья: 9*9*10
Четвертая: 1*10*10*9
Всего:
999+99*9+9*9*10+1*10*10*9=3600
Сколькими способами 20 человек могут распределиться по 4 аудиториям?
Вступительные экзамены сдают 20 человек, сколькими способами они могут распределиться по 4.
Сколькими способами 20 человек могут отдать голоса за троих кандидатов
Сколькими способами 20 человек могут отдать голоса за троих кандидатов, если каждый голосует за.
Сколькими способами 7 человек могут сесть в 3 вагона таким образом, чтобы ровно 1 вагон был пустым
На мой взгляд, по идее должно быть P_\cdot A^_=7!\cdot 3! Это верно или нет?
Сколькими способами могут выданы премии?
Приветствую, :friends: Помогите решить задачку Для премий на математической олимпиаде.
Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n .
Обозначение n!
Запомни:
Таблица факториалов:
На примерах учимся
№ 748
Найдите значение выражения
На примерах учимся
№ 746
Делится ли число на:
Открываем новое
Перестановки
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение (без повторений) этих элементов в определенном порядке.
Число перестановок из n элементов обозначают
Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле :
P n = n!
Открываем новое
Пример 1
Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
Решение: P 8 = 8! = 40 320
Ответ: 40320.
Открываем новое
Пример 2
Сколько различн ых четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные?
Решение: Р 4 – Р 3 = 4! – 3! = 18.
Ответ: 18.
Решение (II способ) 3·3·2·1=18 .
Заметим , что ответ на вопрос, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так .
- Первую цифру можно выбратьтремяспособами.(0 не может стоять на первом месте)
- После выбора первой цифры останутсятри.
- Вторую цифру можно выбратьтремяспособами.
- Третью цифру можно выбратьдвумяспособами.
- Остается приписатьоднуцифру.
Следовательно, общее число искомых четырехзначных чисел равно произведению
Открываем новое
Пример 3
Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом прядке?
Решение:
Ответ: 241920.
На примерах учимся
№ 1
Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3 человека; 2) 5 человек?
Ответ: 1)6 способов; 2)120 способов.
На примерах учимся
№ 2
Сколько различных правильных
(с точки зрения русского языка)
фраз можно составить, изменяя порядок слов в предложении:
Ответ: 1)6 способов; 2)6 способов.
На примерах учимся
№ 3
Сколькими способами можно с помощью букв К, L, М, Н обозначить вершины четырехугольника?
Ответ: 24 способа.
На примерах учимся
№ 735
Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей?
Ответ: 119 выражений.
На примерах учимся
№ 736
Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.
Ответ: 6 вариантов.
На примерах учимся
№ 741
(Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом:
Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций:
а) Олег находится в конце ряда;
б) Олег находится в начале ряда , а Игорь в конце;
в) Олег и Игорь стоят рядом;
а) ( Олег находится в конце ряда – фиксируем ). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков , стоящих перед Олегом
б) Два элемента фиксированы . Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков , стоящих между Олегом и Игорем
На примерах учимся
№ 741
(Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом:
Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций:
а) Олег находится в конце ряда;
б) Олег находится в начале ряда , а Игорь в конце;
в) Олег и Игорь стоят рядом;
в ) Пусть Олег и Игорь стоят рядом . Возможны два варианта их расположения в паре ( Олег – Игорь, Игорь – Олег ). Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами.
Ответ: 720; 120;1440.
На примерах учимся
№ 737
Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:
а) 1,2, 5, 6, 7, 8;
б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что ноль не может стоять на первом месте.
Ответ: 720 чисел; 600 чисел.
Физкультминутка.
Один, два, три, четыре, пять,
Все умеем мы считать.
Отдыхать умеем тоже:
Руки за спину положим,
Голову поднимем выше
И легко – легко подышим.
А теперь, девчата, встали.
Быстро руки вверх подняли,
В стороны, вперед, назад.
Повернулись вправо, влево,
Тихо сели, вновь за дело.
Проверочная работа
Вариант 1
- Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола
6 гостей на шести стульях?
2. У Вовы на обед первое, второе, третье блюда и салат. Он обязательно начнет с салата, а остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.
3. Игральный кубик бросили дважды и записали выпавшие очки. Найдите число всех возможных результатов.
Вариант 2
1. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг дачного домика 8 различных деревьев в восемь подготовленных ям?
2. Маше необходимо сшить пяти куклам 5 платьев. Любимой кукле Алине в первую очередь, а остальным в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов пошива кукольной одежды.
3. В ларьке продается 5 видов мороженого в брикетах. Оля и Таня покупают по одному брикету. Сколько существует вариантов такой покупки?
Ответим на вопросы
Задания для самоподготовки
Учиться –все равно, что грести против течения ׃ только перестанешь и тебя гонит назад.
Рассмотрим множество, состоящее из n различных элементов. Требуется выбрать из них какие-нибудь k элементов и расположить эти k элементов в каком-либо порядке. Такие упорядоченные последовательности называются размещениями из n элементов по k элементов (упорядоченные – следовательно, последовательности и — различные размещения).
Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество
Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество
Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.
Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества и не различны (соединены).
Число сочетаний без повторений
Число сочетаний с повторениями
Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле
При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов
| Выбор | Неупорядоченный | Упорядоченный |
| Без повтора | ||
| С повтором |
Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества и – различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку.
ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества и дают число 123, т.е. не являются различными.
ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?
Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.
ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?
Решение: Составим вспомогательную таблицу
Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует способов распределения по классам.
ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?
Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.
Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.
Тогда искомое число способов расстановки есть
ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.
Решение: По условию задачи из 16 команд для каждой встречи требуется отобрать 2 команды. В данном случае отбор производится без повтора и порядок отбора не важен, т.е. число вариантов — . Так как команды должны играть дважды число вариантов удваивается, т.е. .
ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?
Решение: По условию задачи отбор цветов для окраски производится без повтора и порядок отбора не важен, т.е. число вариантов зависит лишь от числа отбираемых для окраски цветов — . Поэтому общее число вариантов есть
ПРИМЕР 13.2.12. Турист прошел маршрут из пункта A в пункт B, из B в C и вернулся обратно. Сколько вариантов маршрута существует, если из пункта A в пункт B ведут 3 дороги, а из B в C — 4 и нельзя возвращаться той дорогой, по которой уже прошел?
Решение: Составим схему.
Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов .
На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось . Тогда всего вариантов маршрута .
ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
Решение: Рассуждения произведем несколькими способами
I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать способами.
Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме
Поэтому всего способов распределения учеников будет .
II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться
“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”
“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,
Таким образом, всего способов распределения учеников будет .
По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.
ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?
Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.
Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов .
Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).
Очевидно, что для любого расположения гостей таких одинаковых вариантов, получаемых друг из друга поворотом, — шесть. Тогда общее число вариантов уменьшается в шесть раз и их остается .
В случае же, когда нас интересует только взаимное расположение гостей, то одинаковыми можно считать и такие симметричные расположения, при которых у каждого гостя остаются те же соседи за столом, только левый и правый меняются местами (смотри рисунок).
В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.
Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.
ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?
Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида
| Предмет | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Студент 1 | 4 | 4 | 5 | 5 |
| Студент 2 | 5 | 4 | 4 | 5 |
| Студент 3 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| … | … | … | … | … |
| Студент 17 | 4 | 4 | 5 | 4 |
Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.
По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.
При решении задач комбинаторики используются следующие правила.
Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:
Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.
Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана способами.
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить комбинаторную задачу.
13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
Отв.: 3628800
13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?
Отв.: 126126
13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?
Отв.: а)32; б) 62
13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?
13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?
Отв.: 9864000
13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?
13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?
Отв.: 725760
13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
Отв.: 9000000
13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?
Отв.: 105840
13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?
13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?
Отв.: 362160
13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?
Отв.: 60466176
13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?
13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?
13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?
13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?
13.2.1.23. Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?
Сколькими способами 7 человек могут разместиться в очереди в кассу?
7! = 5040 (так как каждый человек может встать по разному 7 раз.
7! = 1 * 2 * 3 * * 4 * 5 * 6 * 7
Комбинатурика и факториал эта тема.
Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого стола?
Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого стола.
Сколькими способами могут разместиться 3 пассажира в 6 местной лодке?
Сколькими способами могут разместиться 3 пассажира в 6 местной лодке?
Сколькими способами 4 пассажир могут разместится в четырехместном купе поезда?
Сколькими способами 4 пассажир могут разместится в четырехместном купе поезда?
Сколько способами 4 пассажира могут разместиться в четырехместном купе поезда?
Сколько способами 4 пассажира могут разместиться в четырехместном купе поезда?
Сколькими способами в девятиместном автобусе могут разместится 9 пассажиров Сколькими способами могут разместиться пассажиры, если один из них, хорошо знающий маршрут, сядет рядом с водителем?
Сколькими способами в девятиместном автобусе могут разместится 9 пассажиров Сколькими способами могут разместиться пассажиры, если один из них, хорошо знающий маршрут, сядет рядом с водителем?
Сколькими способами 4 пассажира могут разместиться в четырёхместном поезде купе?
Сколькими способами 4 пассажира могут разместиться в четырёхместном поезде купе?
Сколькими способами могут разместиться на скамейке 5 человек?
Сколькими способами могут разместиться на скамейке 5 человек.
Сколькими способами 4 пассажира могут разместиться в четырёхместном купе поезда?
Сколькими способами 4 пассажира могут разместиться в четырёхместном купе поезда.
Сколькими способами 5 мальчиков могут занять очередь к билетной кассе если первым всё равно будет толя?
Сколькими способами 5 мальчиков могут занять очередь к билетной кассе если первым всё равно будет толя.
Сколькими способами 5 мальчиков могут занять очередь в билетной кассе, если первым все равно будет Толя?
Сколькими способами 5 мальчиков могут занять очередь в билетной кассе, если первым все равно будет Толя?
Читайте также: