Семена горчицы содержат 7 семян сорняков определить вероятность

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 18.09.2024

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=20:

x_i	0,1	0,5	0,7	0,9
n_i	6	12	1	1

Другие задачи по теории вероятности

Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=10:

x_i	23,5	26,1	28,2	30,4
n_i	2	3	4	1

Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в n=1000 пробах зерна (в первой строке указано количество x_i сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота n_i - число проб, содержащих x_i семян сорняков):

x_i	0	1	2	3	4	5	6
n_i	405	366	175	40	8	4	2

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение нестандартных изделий в n=200 партиях (в первой строке указано количество x_i нестандартных изделий в одной партии; во второй строке указана частота n_i - число партий, содержащих x_i , нестандартных изделий):

x_i	0	1	2	3	4
n_i	132	43	20	3	2

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра λ, распределения Пуассона.

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂, . x_n точечную оценку параметра p биномиального распределения:

где x_i – число появлений события в i-ом опыте (i=1,2,3,…,n), m – количество испытаний в одном опыте.

Случайная величина X (число появлений события A в n независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром p. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события в 10 опытах по 5 испытаний в каждом (в первой строке указано число x_i появлений события A в одном опыте; во второй строке указана частота n_i - количество опытов, в которых наблюдалось X; появлений события A):

x_i	0	1	2	3	4
n_i	5	2	1	1	1

Найти методом моментов точечную оценку параметра p биномиального распределения.

Найти методом моментов по выборке х₁, х₂. x_n точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения, плотность которого

Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение f(x)=λe -λx (x≥0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы n=200 элементов (в первой строке приведено среднее время x_i - работы элемента в часах; во второй строке указана частота n_i - количество элементов, проработавших в среднем x_i часов):

x_i	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5
n_i	133	45	15	4	2	1

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.

Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% — местные, 30% — по СНГ, 10% — в дальнее зарубежье. Среди пассажиров местных авиалиний 50% составляют бизнесмены, на линиях СНГ таких пассажиров — 60%, на международных — 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайным образом отбирается один.
1) Найти вероятность того, что этот пассажир — бизнесмен.
2) Предположим, что этот пассажир оказался бизнесменом. Какова вероятность того, что он прилетел из дальнего зарубежья?

производства бракованной продукции на каждом из заводов равна
соответственно 0,04, 0,03, 0,06 и 0,02. Первый завод поставляет 300, второй
– 200, третий – 500, а четвертый – 250 изделий. Поступило бракованное
изделие. Какова вероятность того, что оно произведено на втором заводе.

Вероятность безотказной работы кондиционера за время т изготовленного на первом заводе равна 0,98, на втором 0,95 , на третьем 0,90. Партия насчитывает 50% конденсаторов с 1-го завода, 30% со второго, 20% с третьего. Конденсатор взятвй наудачу и испытанный в течение времени Т дал отказ. На каком заводе вероятнее всего он приготовлен?

Семена некоторой культуры в 1 кг содержат в среднем 3 семени сорняков. Для опытов отвешивается 200г семян. Определить вероятность того, что в них не окажется семян сорняков.

С двух полей собран урожай в количестве 70 и 30 % и загружен в одно хранилище. Вероятность экземпляра первого сорта для каждого из полей равна соответственно 0,8 и 0,7. Взятый наугад экземпляр оказался 1-го сорта. Найти вероятность, что он выращен на втором поле.

На производства имеется 6 аппаратов ИВЛ, каждая из которых в течение дня может
выйти из строя с вероятностью 0,004. Определить вероятность того, что за день
потребуют ремонтника ровно 2 аппарата;

Трос состоит из 200 отдельных жил. Вероятность того, что одна жила не удовлетворяет техническим условиям, равна 0,02. Определить вероятность того, что в тросе 40 дефектных жил.

В группе 25 студентов, из которых 15 отличников. По списку наудачу отобраны 10 студентов. Найти вероятность того,
что среди отобранных студентов 4 отличника.

На квадрат площадью 2 кв.м. брошена точка. Найти вероятность того, что точка будет удалена от центра квадрата не
больше чем на 0,75 м

На пульт поступают сигналы из четырех пунктов. Вероятность того, что в течение часа поступит сигнал с первого
пункта равна 0,78; со второго пункта-0,83; с третьего пункта-0,92; с четвертого пункта-0,75. Найти вероятность того,
что в течение часа поступят сигналы только из одного пункта;

Две машинистки набрали по одинаковому числу страниц. Вероятность того, что первая машинистка допустит
ошибку равна 0,3; вторая – 0,2. Наудачу выбрана страница. Найти вероятность того, что на выбранной странице есть
ошибка;

На сборку поступило семь коробок однотипных деталей: три коробки изготовлены первым заводом, в которых детали
высшего качества составляют 78%, и четыре коробки изготовлены вторым заводом, в которых детали высшего качества
составляют 92%. Сборщик взял наугад одну из коробок и вынул из нее деталь. Найти вероятность того, что деталь
высшего качества, выбранная из коробки, поступила со второго завода.

В мешке 77 монет, причем одна монета - фальшивая. Наугад выбирают две монеты. Какова вероятность того, что будет выбрана фальшивая монета?

\u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043b\u044f\u043c\u0431\u0434\u0430=np \u0438 \u044f \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043b\u0430

\u04201000(6)=(6)^6 * e^(-6) \/6! \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0439\u0442\u0435 \u0432\u0440\u043e\u0434\u0435 = 0,1635

\u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0432\u0435\u0440\u043e\u044f\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0442\u0440\u0435\u0445, \u043d\u0430\u0434\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 =1- (\u0420 (0) +\u0420 (1)+\u0420 (2)+\u0420 (3))

\u043d\u0443 \u0442\u0443\u0442 \u0443\u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u0438 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u0435

1. В коробке семь одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастаю щем порядке.

2. Из колоды в 32 карты наудачу извлекаются одна за дру гой две карты. Определить вероятность того, что сначала по явилась дама, а потом — валет.

3. В тренажерном зале занимаются 7 бухгалтеров, 5 юри стов и 6 менеджеров. К кулеру случайным образом подошли 8 человек. Какова вероятность того, что среди них 3 бухгалтера, 2 юриста и 3 менеджера?

4. Какова вероятность попасть не целясь бесконечно ма лой пулей в прут квадратной решетки 6, если расстояние между центрами прутьев равно 18.

6. В первой урне 3 белых шара и 2 черных шара, во вто рой — 2 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую переложено два шара, а затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что этот шарбелый.

7. На стеллаже 10 винтовок, из которых 4 снабжены опти ческим прицелом. Вероятность поражения цели из винтовки

с оптическим прицелом равна 0,95; без оптического прице ла — 0,80. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтов ки. Определить вероятность того, что винтовка была с оптиче ским прицелом.

8. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены 5 точек. Найти вероятность того, что две из них окажутся правее точки С, а три — левее. Предпола гается, что вероятность попадания точки на отрезок пропор циональна длине отрезка.

9. Известно, что 80 % джедаев сражаются лазерными меча ми синего цвета. Определить вероятность того, что из 100 дже даев более четверти имеют синие мечи.

10. Известно, что 2 % кошек имеют разный цвет глаз. Найти вероятность того, что у 15 из 1000 наудачу выбранных кошек глаза разного цвета.

1. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, вспомнив, что они различны и не равны нулю. Какова вероятность того, что набран нужный но мер?

2. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, вынули наудачу два шара. Найти вероятность того, что оба шара — бе лые.

3. Среди 15 деталей 4 нестандартных. Определить вероят ность того, что среди взятых наудачу 5 деталей две — нестан дартные.

4. В квадрате с вершинами О (0,0); А (1,0); В (1,1); С (0,1)

наудачу выбирается точка с координатами ( x ; y ) . Найти веро ятность события D =

6. Имеется три одинаковые урны с шарами. В первой урне 4 белых и 2 черных, во второй — 5 белых и 3 черных, в тре тьей — 2 белых и 7 черных шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что это — черный шар.

7. Количества легковых машин, грузовых машин, автобу сов и специализированных машин, проезжающих по шоссе

в течение дня, относятся как 3: 4: 2: 1. Для каждого из этих типов транспортных средств вероятность обращения в шиномонтаж составляет соответственно 20 %, 10 %, 5 % и 2 %. К шиномон тажу подъехала машина. Определить вероятность того, что эта машина — легковая.

8. Игральный кубик брошен 6 раз. Определить вероятность того, что шестерка выпадет не более одного раза.

9. Хан Соло понимает в среднем 80 % предложений, кото рые ревет Чубакка. Найти вероятность того, что Хан Соло пой мет от 90 до 100 предложений среди 120 предложений Чубакки.

10. Семена горчицы содержат 7 % семян сорняков. Опреде лить вероятность того, что партия из 100 семян содержит 10 се мян сорняков.

1. Группа из 8 детей рассаживается вокруг круглого стола

в кафе произвольным образом, занимая все места. Какова ве роятность, что Маша и Даша окажутся сидящими рядом?

2. Из полного набора костей домино наугад берутся две ко сти. Определить вероятность того, что обе кости оказались ду блями.

3. Среди 20 студентов, сдающих экзамен, пятеро из города А, остальные — из других городов. Случайным образом 4 сту дента сели на первые парты. Определить вероятность того, что двое среди них — уроженцы города А.

4. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обо их концов отрезка превосходит 0,3.

5. В первой урне 35 белых шаров и 65 черных, во второй урне 30 белых шаров и 70 черных. Наудачу вынимают по 2 шара из каждой урны. Определить вероятность того, что все шары — белые.

7. В первом ящике 20 деталей, среди которых 3 бракован ные, во втором18 деталей, среди которых 6 бракованных. Из наудачу выбранного ящика взяли деталь, которая оказалась бракованной. Определить вероятность того, что деталь извлек ли из первого ящика.

8. Монету бросают шесть раз. Найти вероятность того, что герб выпадет более четырех раз.

9. Вероятность появления события в каждом из 100 незави симых испытаний постоянна и равна 0,65. Найти вероятность того, что событие появится менее чем в половине случаев.

10. Среди шариков для подшипников 5 % никелированы. Определить вероятность того, что в партии из 1000 шариков никелированных шариков будет 7 шт.

1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четы рем.

2. Среди 20 деталей 4 бракованных. Определить вероят ность того, что среди взятых наудачу 6 деталей три — брако ванные.

3. В трамвае 15 пассажиров, среди которых 6 пенсионеров. Случайным образом вышли пятеро пассажиров. Найти вероят ность того, что среди вышедших — три пенсионера.

4. В квадрате с вершинами О (0,0); А (1,0); В (1,1); С (0,1)

наудачу выбирается точка с координатами ( x ; y ) . Найти веро ятность события D = < ( x ; y ) x Ј y Ј 0,8 >.

6. Маленькая Сонечка помогает маме и моет посуду — все го 10 тарелок, 5 блюдец и 5 чашек. Вероятность того, что она разобьет тарелку — 8 %, блюдце — 5 % и чашку — 3 %. Опреде лить вероятность того, что наудачу выбранный предмет, кото рый она сейчас моет, не пострадает.

7. Имеются три комплекта игральных карт. В первом из них 8 карт красной масти и две — черной, во втором черных

и красных карт поровну, в третьем две красных и 8 черных. Из одного комплекта вытянули карту, которая оказалась красной. Определить вероятность того, что карта взята из третьего ком плекта.

8. Вероятность падения бутерброда маслом вниз равна 0,8. Определить вероятность того, что из шести одинаковых упав ших бутербродов не более четырех упадет маслом вниз.

9. Магистр Йода останавливает в воздухе с помощью Силы 75 % летящих в него снарядов, а от остальных уворачивается. Определить вероятность того, что среди 500 летящих снарядов магистр Йода остановит не менее 400 снарядов.

10. Вероятность того, что деталь бракованная, равна 7 %. Найти вероятность того, что в партии из 100 деталей будет 5 бракованных.

1. В коробке пять одинаковых занумерованных кубиков. На удачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков не появятся в возрастающем порядке.

2. Из колоды в 32 карты наудачу извлекаются одна за дру гой две карты. Определить вероятность того, что сначала по явилась дама пик, а потом — туз.

3. Среди 18 машин, стоящих на парковке семь — выпуска 2013 года, остальные — более ранних годов. Случайным обра зом выезжают пять машин. Какова вероятность того, что среди выехавших машин три — выпуска 2013 года.

4. На плоскость нанесены две концентрические окружно сти 13 и 21. Какова вероятность того, что наудачу появив шаяся в большем круге точка не попадет в малый круг?

5. В первой урне 60 белых шаров и 40 черных, во второй урне 75 белых шаров и 25 черных. Наудачу вынимают 2 шара из первой и 3 шара из второй урны. Определить вероятность того, что все шары — черные.

6. Даша играет в Sims. С вероятностью 50 % она создаст семью из2персонажей,свероятностью35 %персонажейвсемьебудеттри,

с вероятностью 15 % их будет четыре. Вероятности покупки двух этажного коттеджа в течение трех часов для семей такого состава со ответственноравны10 %,20 %и30 %.Определитьвероятностьтого, что Даша купит двухэтажный коттедж в течение трех часов.

7. В первом ящике 10 деталей, среди которых 2 бракован ные, во втором — 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Из наудачу выбранного ящика взяли деталь, которая оказалась бракованной. Определить вероятность того, что деталь извлек ли из второго ящика.

8. На отрезок, разделенный на три равные части, наудачу бро шены6точек.Найтивероятностьтого,чтонакаждуюизтрехчастей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность по падания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка.

9. Из каждых 10 орков 8 являются косоглазыми. Найти ве роятность того, что среди 300 орков от 150 до 170 орков будут косоглазыми.

10. В среднем 8 % деревьев имеют дупла. Найти вероятность того, что среди 100 наудачу выбранных деревьев у девяти име ются дупла.

1. Набирая номер телефона, абонент забыл две послед ние цифры, и набрал их наудачу, вспомнив, что они различны

и больше единицы. Какова вероятность того, что набран нуж ный номер?

2. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, вынули наудачу два шара. Найти вероятность того, что шары разного цвета.

3. В коробке 10 гаек, среди которых две 7, три 10, остальные 8. Наудачу взяты 5 гаек. Определить вероятность того, что среди них две 7, две 10 и три 8.

4. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обо их концов отрезка не превосходит 0,6.

5. Вероятности того, что некачественный бензин находит ся в первой, второй, третьей и четвертой канистрах соответ ственно равны 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что некачественный бензин находится не менее чем в двух кани страх.

6. В первой урне 4 белых шара и 3 черных шара, во вто рой — 5 белых и 2 черных шара. Из первой урны во вторую переложено два шара, а затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что этот шар — черный.

7. На стеллаже 10 винтовок, из которых 3 снабжены опти ческим прицелом. Вероятность поражения цели из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; без оптического прице ла — 0,85. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтов ки. Определить вероятность того, что винтовка была без опти ческого прицела.

8. Монету бросают семь раз. Найти вероятность того, что герб выпадет более пяти раз.

9. Вероятность появления события в каждом из 150 неза висимых испытаний постоянна и равна 0,6. Найти вероятность того, что событие появится менее чем в 70 случаях.

10. При температуре –40 °C заводится 7 % иномарок. Тер мометр с утра показал ровно –40 °C мороза. Определить веро ятность того, что заведется 15 из 200 иномарок.

1. Группа из 10 делегатов конференции усаживается в зале

в первый ряд произвольным образом, занимая все места. Ка кова вероятность того, что два определенных делегата окажут ся сидящими рядом?

2. Из полного набора костей домино наугад берутся две ко сти. Определить вероятность того, что обе кости не оказались дублями.

3. В урне находятся 4 белых, 2 черных, 3 синих и 5 зеленых шаров. Наудачу вынули 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них 2 белых, 1 черный и 3 зеленых.

4. Какова вероятность попасть не целясь бесконечно ма лой пулей в прут квадратной решетки 6, если расстояние между центрами прутьев равно 20.

5. В двух урнах находятся белые и черные шары. В первой урне белых шаров 64 %, во второй их 40 %. Наудачу вынимает ся по одному шару из каждой урны. Определить вероятность того, что хотя бы один шар — белый.

7. Имеются три комплекта игральных карт. В первом из них 7 карт красной масти и три — черной, во втором черных и красных карт поровну, в третьем две красных и 8 черных. Из одного комплекта вытянули карту, которая оказалась черной. Определить вероятность того, что карта взята из первого ком плекта.

8. На отрезок, разделенный на две равные части, наудачу брошены 6 точек. Найти вероятность того, что на каждую часть отрезка попадет по 3 точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка.

9. К Интернету подключено в среднем 75 % домов наше го города. Определить вероятность того, что среди 500 наудачу взятых домов к Интернету подключены от 50 до 200 домов.

10. Звание мастера спорта имеют 5 % всех спортсменов. Найти вероятность того, что из 100 спортсменов семеро имеют звание мастера спорта.

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, чторазностьвыпавшихочковравнаединице,апроизведение— больше пяти.

3. Среди 15 машин, стоящих на парковке 10 — выпуска 2013 года, остальные — более ранних годов. Случайным образом выезжают шесть машин. Какова вероятность того, что среди этих машин четыре — выпуска 2013 года?

4. Иван и Петр встречаются у ГУКа с 13 до 14 часов. Каждый приходит в случайный момент времени, ждет другого до истечения часа, но не более 15 минут. Найти вероятность того, что встреча состоится до 13.55.

5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трех выстрелах равна 0,992. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

6. В первой урне 3 белых шара и 4 черных шара, во второй — 2 белых и 5 черных шаров. Из первой урны во вторую переложено три шара, а затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что этот шар — черный.

7. Протосс играет против террана в StarCraft II, причем равновероятно наземными, воздушными или десантными войсками. Использование этих видов войск дает ему шансы на победу соответственно 75 %; 75 % и 50 %. Протосс выиграл. Каковавероятностьтого,чтоонвоевалдесантнымивойсками?

8. Игральный кубик брошен 5 раз. Определить вероятность того, что шестерка выпадет не более одного раза.

9. Количество конфет с фруктовой начинкой относится

к количеству конфет с овощной начинкой как 3:2. Определить вероятность того, что из 400 конфет менее 200 имеют фруктовую начинку.

10. В 5 % любительских матчей фиксируется автогол. Определить вероятность того, что в 150 любительских матчах будет 12 автоголов.

2. Из колоды в 32 карты наудачу извлекаются одна за дру гой две карты. Определить вероятность того, что обе карты од ной масти.

3. В урне находятся 5 белых, 2 черных, 2 красных и 5 зеле ных шаров. Наудачу вынули 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них 3 белых, 1 красный и 1 зеленый.

4. На плоскость нанесены две концентрические окружно сти 12 и 22. Какова вероятность того, что наудачу появив шаяся в большем круге точка попадет и в малый круг?

6. Литье в болванках поступает из двух цехов: 70 % из пер вого и 30 % из второго. При этом материал из первого цеха имеет 5 % брака, а из второго — 10 %. Найти вероятность того, что взятая наугад болванка без дефекта.

8. Вероятность падения бутерброда маслом вниз равна 0,7. Определить вероятность того, что из четырех одинаковых упавших бутербродов не более трех упадет маслом вниз.

9. Орнитолог подсчитал, что среди наблюдаемых за день перелетных птиц в среднем 65 % уток. Найти вероятность того, что из 120 пролетевших за день птиц не более 70 уток.

10. До поверхности Земли долетает 3 % метеоритов, попав ших в атмосферу. Определить вероятность того, что из 1000 по павших в атмосферу метеоритов до поверхности долетит 25.

1. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, и набрал их наудачу, вспомнив, что они различны и мень ше девяти. Какова вероятность того, что набран нужный номер?

2. Из урны, содержащей 3 синих и 5 зеленых шаров, вынули наудачу два шара. Найти вероятность того, что шары разного цвета.

3. Наблюдатель отмечает птиц, прилетевших на участок. Среди них 5 воробьев, 3 коноплянки, 4 грача и 5 синиц. Слу чайным образом получены снимки 7 различных птиц. Опреде лить вероятность того, что среди них 3 воробья, 1 коноплянка, 2 грача и 1 синица.

4. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, каждый из которых не превосходит L , будет больше L ?

5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попада ния в цель при одном выстреле для первого стрелка 0,85, а для другого — 0,90. Найти вероятность того, что в мишень попадет только один из стрелков.

6. В первой урне 5 белых шаров и 2 черных шара, во вто рой — 3 белых и 2 черных шара. Из первой урны во вторую переложено три шара, а затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что этот шар — белый.

8. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 3:1. На этот отрезок наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С, а две — правее. Предпола гается, что вероятность попадания точки на отрезок пропор циональна длине отрезка.

9. Известно, что взрываются 85 % петард, остальные яв ляются бракованными. Найти вероятность того, что среди ку пленных 200 петард взорвутся от 120 до 179 петард.

10. Шансы на то, что природный алмаз пригоден к огран ке, составляют 4,5 %. Определить вероятность того, что из 100 найденных алмазов три пригодны к огранке.

Есть три группы событий: достоверные, невозможные и случайные. Часть из них можно объяснить при помощи математики и других точных наук. В этом материале расскажем про теорию вероятностей, рассмотрим формулы и примеры решения задач.

О чем эта статья:

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Вероятностное пространство — это тройка (Ω, Σ, Ρ) иногда обрамленная угловыми скобками: ⟨ , ⟩ , где

Ω — это множество объектов, которые называют элементарными событиями, исходами или точками.
Σ — сигма-алгебра подмножеств , называемых случайными событиями;
Ρ — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

A — встреча с другом состоится, х и у — время прихода. Значит:
0 ≤ х, у ≤ 60.
В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, которые лежат внутри квадрата ОАВС. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы — приглашаем на вводный урок!

Сложение и умножение вероятностей

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В можно записать так: A ⊂ B.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается так: А = В.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события A₁, A₂. A_n образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n) = 1. Такие события (гипотезы) используют при решении задач на полную вероятность.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

только в одном справочнике;
только в двух справочниках;
во всех трех справочниках.

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий B₁, B₂, . B_n, которые образуют полную группу несовместных событий — вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B₁, B₂, . B_n, вероятности появления которых P(B₁), P(B₂), . P(B_n). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B₁, B₂, . B_n, которые называются гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности: если событие А произошло — это может изменить вероятности гипотез P(B₁), P(B₂), . P(B_n).

По теореме умножения вероятностей:

Аналогично, для остальных гипотез:

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Возможны три гипотезы:
- А1 — на линию огня вызван первый стрелок,
- А2 — на линию огня вызван второй стрелок,
- А3 — на линию огня вызван третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка равно возможен, то
В результате опыта наблюдалось событие В — после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при наших гипотезах равны:
По формуле Байеса находим вероятность гипотезы А₁ после опыта:

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Бросаем игральный кубик, где вероятности выпадения определенной цифры одинаковы в каждом броске.
Включаем лампы с заранее заданной одинаковой вероятностью выхода из строя каждой.
Лучник повторяет выстрелы по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой.

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

p = P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

np - q ≤ k ≤ np + p, где q=1−p

Так как np−q = np + p−1, то эти границы отличаются на 1. Поэтому k, являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда np целое число (k = np), то есть когда np + p (а отсюда и np - q) нецелое число, либо два значения, когда np - q целое число.

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

По условию дано: n = 730, p = 1/365, g = 364/365
np - g = 366/365
np + p = 731/365
366/365 ≤ m ≤ 731/365
m = 2

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

По условию дано: n = 1000, p = 0,002, λ = np = 2, k = 3.
Искомая вероятность после подстановки в формулу:

P₁₀₀₀(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью p, q = 1 - p (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через P_n(k) вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях.

Кроме того, пусть P_n(k₁;k₂) — вероятность того, что число появлений события А находится между k₁ и k₂.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Читайте также: