Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0 7

Добавил пользователь Дмитрий К.
Обновлено: 18.09.2024

Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием закон больших чисел.

Неравенства Чебышева.Если возможные значения ДСВ Х неотрицательны и существует ее математическое ожидание , то для любого числа справедливо первое неравенство Чебышева:

которое можно записать в другом виде:

Для СВ Х с математическим ожиданием и конечной дисперсией D(X) и для любого числа выполняются неравенства:

Неравенство (11) и (12) представляют собой различные формы записи второго неравенства Чебышева.

Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит менее 360 г.?

Случайную величину – вес клубня – обозначим через Х. По условию . Искомую вероятность оценим по формуле (10):

Задачи.

17.51. Среднее число молодых специалистов, ежегодно направляемых в аспирантуру, составляет 200 человек. Оценить вероятность того, что в данном году будет направлено в аспирантуру менее 220 молодых специалистов.

17.52. Оценить вероятность того, что при 3600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений 6 очков будет не меньше 900.

17.53. СВ Х имеет дисперсию .Какова вероятность того, что СВ Х отличается от не менее, чем на 0,1?

17.54. СВ Х имеет дисперсию .Какова вероятность того, что СВ Х отличается от не менее, чем на 0,2?

17.55. Для СВ Х известна дисперсия и неравенство

. Найти число а.

17.56. Среднее значение длины детали равно 50 см, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.

17.57. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Оценить вероятность того, что из посеянных 1000 семян число взошедших окажется от 700 до 800 включительно.

Теорема Чебышева.(Закон больших чисел.)Если случайные величины попарно независимы, имеют математическое ожидание и дисперсию, каждая из которых ограничена одним и тем же числом С, то для любого числа выполняется неравенство

В частном случае, когда все СВ имеют одно и то же математическое ожидание , неравенство принимает вид

Теорема Бернулли.Если m – число наступлений события А в n независимых испытаниях и р – вероятность наступления события А в каждом из испытаний, то для любого

Найти вероятность того, что частота появления шестерки в 10000 независимых подбрасываниях игрального кубика отклоняется от вероятности появления шестерки по модулю меньше, чем на 0,01. Решение.

В данном случае n = 10000, p = 1/6, q = 5/6. Воспользуемся теоремой Бернулли (14):

Задачи.

17.58. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.

17.59. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р = 0,7?

17.60. Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взяли на выборку по 1 квадратному метру с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю менее чем на 0,25 центнера.

17.61. Определить сколько надо произвести замеров поперечного сечения деревьев на большом участке, чтобы средний диаметр деревьев отличался от истинного значения а менее чем на 2 см с вероятностью не меньшей 0,95. Среднее квадратическое отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 10 см.

17.62. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Найти вероятность того, что при посеве 10000 семян отклонение доли взошедших семян от вероятности того, что взойдет каждое из них, не превзойдет по модулю 0,01.

Локальная теорема Лапласа.Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно раз, приближенно равна

Интегральная теорема Лапласа.Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит не менее раз и не более раз, приближенно равна

Вероятность можно вычислить по формуле:

где - функция Лапласа.

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз.

По условию , поэтому . Воспользуемся формулой (16), предварительно вычислив и по формуле (15):

Задачи.

17.63. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) 750 раз; б) 710 раз.

17.64. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 710 раз и не более 740 раз.

17.65. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появления события А в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,5?

17.66. Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наугад 1000 лампочек. Оценить вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.

17.67. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.

17.68. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных будет не более 17?

17.69. Вероятность изготовления детали первого сорта на данном станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется 75 деталей первого сорта.

17.70.Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

ОТВЕТЫ

17.1.0,2; ломаная А₁А₂А₃А₄А₅, где А₁(0,2;0,1), А₂(0,4;0,2), А₃(0,6;0,4), А₄(0,8;0,2), А₅(1;0,1)17.2. , , 17.3. , , , 17.4.D(X) = 1,2917.5.D(X) = 8,545; 17.6.0,0617.7.0,057917.8.а) 3 из 4; б) не менее 5 из 817.9.0,217.10.0,6317.11.0,14517.12.a) 1/4 б) 1/4 в) 15/16 17.13. 17.14.a) 0,591 б) 2 17.15. 17.16. , , , , 17.17. , , , , , , 17.18. 17.19. , , , , , 17.20. , , , , 17.21. , , , , ; M(X) = 1,2; 17.22.0,517.23.а)0 б)0,5 в)0 17.24.а) б)1/217.25.а) б) 17.26. ; M(X) = 2/3; 17.27.93,7%17.28.0,08817.29. 17.30.0,0478 17.31.9%17.32. ; M(X) = a

17.33.

y_i	3	9	15
p_i	0,4	0,1	0,5

17.34.

y_i	1	4
p_i	0,5	0,5

17.35.

y_i	0	1	2
p_i	0,2	0,5	0,3

17.36.

y_i	0	2	6
p_i	0,5	0,3	0,2

17.37.

y_i	0	1	4	9
p_i	0,25	0,45	0,25	0,05

M(X) = 0,6; D(X) = 1,54; M(Y) = 1,9; D(Y) = 4,89

17.38. 17.39. 17.40. 17.41. 17.44.

x_i	0	1
p_i	0,45	0,55

M(X) = 0,55; D(X) = 0,2475

y_i	-1	0	1
p_i	0,25	0,4	0,35

M(Y) = 0,1; D(Y) = 0,59; K_XY = 0,055

17.45.

x_i	2	3	4	5
p_i	0,5	0,3	0,15	0,05

y_i	2	3	4
p_i	0,55	0,3	0,15

y_i	1	2	3	4
p_i	0,3	0,4	0,24	0,06

17.51. 17.52. 17.53. 17.54. 17.55. 17.56. 17.57. 17.58. 17.59. 17.60. 17.61. 17.62. 17.63. 17.64. 17.65. 17.66. 17.67. 17.68. 17.69. 17.70. .

Таблицы значений функции Лапласа и .

x	j(x)	F₀(x)	x	j(x)	F₀(x)	x	j(x)	F₀(x)	x	j(x)	F₀(x)	x	j(x)	F₀(x)
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19	0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,3918	0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753	0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39	0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,3825 0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3726 0,3712 0,3697	0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517	0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59	0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3538 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0,3352	0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224	0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79	0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0,3144 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3034 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0,2920	0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852	1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19	0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2203 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0,1965	0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

x	j(x)	F₀(x)	x	j(x)	F₀(x)	x	j(x)	F₀(x)	x	j(x)	F₀(x)	x	j(x)	F₀(x)
1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39	0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0,1736 0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,1518	0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177	1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59	0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1315 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1127	0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441	1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79	0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0,0957 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0,0804	0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633	1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99	0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0,0669 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0,0551	0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767	2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38	0,0540 0,0519 0,0498 0,0478 0,0459 0,0440 0,0422 0,0404 0,0387 0,0371 0,0355 0,0339 0,0325 0,0310 0,0297 0,0283 0,0270 0,0258 0,0246 0,0235	0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913

x	j(x)	F₀(x)	x	j(x)	F₀(x)
2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78	0,0224 0,0213 0,0203 0,0194 0,0184 0,0175 0,0167 0,0158 0,0151 0,0143 0,0136 0,0129 0,0122 0,0116 0,0110 0,0104 0,0099 0,0093 0,0088 0,0084	0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973	2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,50 5,00	0,0079 0,0075 0,0071 0,0067 0,0063 0,0060 0,0056 0,0053 0,0050 0,0047 0,00443 0,00327 0,00238 0,00172 0,00123 0,00087 0,00061 0,00042 0,00029 0,00020 0,0001338 0,0000160 0,0000015	0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49903 0,49931 0,49952 0,49966 0,49977 0,49984 0,49989 0,49993 0,49995 0,499968 0,499997 0,49999997

Мэси, 2011г. тесты по математике.
… - значение признака, при котором одна половина значений признака меньше ее, а другая половина больше.
… - наука о вычислении вероятностей случайных событий.
… анализ устанавливает форму зависимости между случайной величиной и значениями …(Суммой) множеств A и B называется множество Х всех элементов принадлежащих хотя бы одному из множества A или B и обозначается Х=А+В.
Две прямые на плоскости. тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.
Дисперсия.
Замечательные пределы.
Коэффициент вариации.
Множество В называется. множества А, если каждый элемент множества В является одновременно и элементом множества А.
Неопределенный интеграл вычисляется по формуле.
Оценка коэффициента корреляции.
Площадь криволинейной трапеции.
Последовательность проверки статистических гипотез.
Производная (sin x)/.
Производная (tg)/.
Производная функции y=cos x.
Прямые на плоскости … тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны между собой.
Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0,
7. Какова вероятность, того, что из двух семян взойдет хотя бы одно.
Расстояние между двумя точками.
Расстояние от точки до прямой.
Событие называется …, если оно обязательно произойдет.
Совокупность всех первообразных.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки P(4; -2) и Q (1;3).
Условия перпендикулярности двух прямых.
Фигура ограниченная графиком функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ox –.
Формулы координат деления отрезка в данном отношении.
Комбинация из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, или порядком элементов, называются.
Степень (теснота) и характер, знак корреляции (положительная или отрицательная) определяются.
… графика функции – прямая линия, к которой неограниченно приближается график, когда точка неограниченно удаляется от начала координат.
Две выборки называются …, если числовые значения одного и того же признака получены в эксперименте над разными объектами.

Бевз Г.П. Математика 11 клас

формат pdf
размер 104.23 МБ
добавлен 27 декабря 2011 г.

Будак В.Д., Васильєва Л.Я., Ніколаєнко С.В. Елементарна математика. Тригонометрія

формат doc
размер 6.38 МБ
добавлен 07 сентября 2011 г.

Навчально-методичний посібник для студентів спеціальності "ПМСО.Математика". Миколаїв, 2006. Містить чотири модуля: Перетворення тригонометричних виразів, розв'язання тригонометричних рівнянь, розв'язання тригонометричних нерівностей, системи тригонометричних рівнянь.

Готовые домашние задания, Математика. 5 класс. К учебнику А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского

формат djvu
размер 5.82 МБ
добавлен 14 сентября 2011 г.

Курант Р., Дейвис Ф.Дж., Клайн М. и др. Математика в современном мире. Сборник статей

формат djvu
размер 8.24 МБ
добавлен 25 января 2012 г.

Пидоу Д. Геометрия и искусство

формат djvu
размер 11.8 МБ
добавлен 20 февраля 2011 г.

М.: НТ, 1979 год. Книга известного математика и педагога Д. Пидоу, посвящена использованию аппарата классической геометрии в архитектуре и изобразительном искусстве.

Шилейко А.В. (сост.) Математика в современном мире

формат djvu
размер 2.68 МБ
добавлен 22 января 2012 г.

Ширяев А.Н. (сост). Отчет и материалы. Международная конференция: Колмогоров и современная математика 2003

формат pdf
размер 2.13 МБ
добавлен 10 мая 2011 г.

Шпаргалка для экзамена по Математике и Информатике

формат doc
размер 263 КБ
добавлен 30 июня 2011 г.

Данная работа содержит 23 листа с ответами на следующие вопросы по курсу "Математика и информатика": Аксиомы и теоремы. Математические доказательства. Алгоритмы. Виды алгоритмов. Базы данных. СУБД. Вероятность. Виды вероятностей. Виды моделей. Геометрия Эвклида. Основные понятия эвклидовой геометрии. бальные сети ЭВМ. Информационные модели. Локальные сети ЭВМ. Методы вычисления неопределенных интегралов. Моделирование процессов. Операционная сис.

Эссе - я, математика и языкознание

формат docx
размер 26.68 КБ
добавлен 21 декабря 2010 г.

В данной работе рассматривается связь между такими науками как математика и языкознание. Упомянута история развития и пути пересечения. ПИ ЮФУ 3 курс, математическая лингвистика

Биномиальным называется закон распределения дискретной СВ , если она может принимать целые неотрицательные значения 0,1. n с вероятностями
.

Математическое ожидание и дисперсия СВ , распределенные по биномиальному закону, вычисляются по формулам M ()= np ; D ()= npq .

Пример 24. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Составить закон распределения всхожести для 5 посеянных семян и найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. Случайная величина  - число взошедших из 5 посеянных семян - может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4 и 5. По формуле (11) найдем соответствующие им вероятности:

Запишем закон распределения.

Математическое ожидание M ()= np =50,8=4;
дисперсия .

7.2. Закон распределения Пуассона

Дискретная СВ  распределена по закону Пуассона (с параметром >0), если она может принимать целые неотрицательные значения 0,1,2, . с вероятностями
.

Распределение Пуассона может быть использовано как приближенное в тех случаях, когда точным распределением случайной величины является биномиальное распределение и когда математическое ожидание мало отличается от дисперсии, т.е. когда np  npq .

Пример 25. Вероятность того, что станок с программным управлением изготовит бракованное изделие, составляет 0,004. Требуется определить с достоверностью 0,95, в каких пределах будет лежать число бракованных изделий в партии из 1000 штук.

Решение. n =1000; p =0,004; P =0,95. Поскольку = np =4, можно воспользоваться распределением Пуассона, согласно которому
.
Вычислим последовательно эти вероятности:

Суммируя вычисленные вероятности, начиная со второй, получим P (1 m 4)=0,61192. Эта вероятность значительно меньше, чем требуемая достоверность 0,95. Поэтому продолжим процесс вычисления:

Суммируя их, получим: P (1 m 8)=0,96173>0,95, тогда как P (1 m 7)=0,93197 7.3. Равномерное распределение

Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, все значения которой лежат на некотором отрезке [ a , b ] и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке. Таким образом, ее плотность вероятности

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое равномерно распределенной СВ определяются формулами
. (17)
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал (,), представляющий собой часть промежутка [ a , b ], вычисляется по формуле
. (18)

Пример 26. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину, которая распределена равномерно в интервале между соседними делениями. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения, равна 0,2, поэтому

а). Очевидно, что ошибка отсчета не превысит 0,04, если она будет заключена в интервалах (0; 0,04) или (0,16; 0,2). Тогда искомую вероятность получим по формуле (18)
p=P(0 7.4. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Показательным ( экспоненциальным ) называют распределение вероятностей непрерывной СВ , плотность которой имеет вид
(19)
где  - постоянная положительная величина.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны
. (20)

Функция распределения показательного закона
(21)

Вероятность попадания в интервал ( a , b ) непрерывной СВ , распределенной по показательному закону:
. (22)

Замечательным свойством показательного закона распределения является то, что при наступлении события x случайная величина =- x имеет такой же закон распределения, как и величина . Это свойство объясняет, почему показательный закон распределения имеют такие случайные величины, как время работы различных технических и радиотехнических систем, механизмов, время распада радиоактивного атома, время обслуживания технической системы, длительность телефонного разговора и т.д.

Пример 27. Время Т безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслуживанием - 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двигателя за 80 ч.

Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной величины Т равно 100 часов. Следовательно, 1/=100. Отсюда =10 -2 =0,01. Тогда плотность распределения времени безотказной работы двигателя будет иметь вид

определяет вероятность отказа двигателя за время длительностью t . Тогда вероятность безотказной работы двигателя за это время будет равна . Функцию R ( t ) называют функцией надежности. Для случая нашей задачи эта вероятность будет равна .

7.5. Нормальный закон распределения

Распределение непрерывной случайной величины  называется нормальным , если ее плотность вероятности имеет вид
, (23)
где a = M () - математическое ожидание; - среднее квадратическое отклонение СВ . Вероятность попадания нормально распределенной СВ  в заданный интервал (,) вычисляется по формуле , (24)
где - функция Лапласа. Вероятность того, что модуль отклонения случайной величины  от своего математического ожидания меньше любого положительного числа :
. (25)
Вероятность отклонения относительной частоты = m / n от постоянной вероятности p появления некоторого события в n независимых испытаниях выражается формулой
, (26)
где q =1- p .

Пример 28. Пусть случайной величиной  является предел текучести данной марки стали, замеренный на некотором количестве проб. Из опыта известно, что величина  распределена нормально с математическим ожиданием a =310МН/м 2 и средним квадратическим отклонением =32 МН/м 2 . Найти вероятность того, что значение текучести заключено между 290 и 320 МН/м 2 .

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся формулой (24). Вычислим значения и . В данной задаче =320 МН/м 2 ; =290 МН/м 2 ; a=310 МН/м 2 ; =32 МН/м 2 . Тогда ; . Используя формулу (24), получим: P (290 Пример 29. Диаметр втулок, изготовленных на заводе, можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием a =2510 -3 м и среднеквадратическим отклонением =10 -4 м. В каких границах будет находиться величина диаметра втулки с вероятностью 0,98?

Решение. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины  от своего математического ожидания a меньше любого >0, равна
.
Из этого равенства получим . По таблице значений функции ( x ) находим: . Отсюда =2,3310 -4 м. Тогда искомый интервал, в котором будет находиться диаметр втулки с вероятностью 0,98, можно записать: (24,76710 -3 ; 25,23310 -3 ).

Пример 30. Среди продукции, изготовленной на данном станке, брак составляет 2%. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,995 можно было ожидать, что относительная частота бракованных изделий среди них отличается от 0,02 по модулю не более чем на 0,005?

Решение. Мы знаем, что если n - число независимых испытаний и p - вероятность появления события в отдельном испытании, то при любом >0 имеет место равенство (см. формулу (26))
.
В нашем случае p =0,02; q =1-0,02=0.98; P =0,995; =0,005. Для определения n запишем указанное равенство с учетом данных задачи

или .Из таблицы значений функции ( x ) находим: . Отсюда получаем: n =6190 изделий.

8. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ
О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

Важнейшим среди законов непрерывных распределений является нормальный закон, плотность и функция распределения которого имеют вид
;
где - функция Лапласа.

Нормальный закон является предельным законом распределения и для ряда других законов распределения. Поэтому основные методы математической статистики разработаны применительно к нормальному закону.

Пусть F ( x ) - функция распределения изучаемой СВ . Обозначим через H 0 гипотезу о нормальном распределении СВ .
,
где a и  - конкретные значения параметров нормального закона. Эту гипотезу называют нулевой гипотезой. Для ее проверки производят серию из n независимых испытаний. В результате получают выборочную совокупность x 1 , x 2 , . x n , по которой делают вывод о правильности гипотезы H 0 . Так как СВ  может принимать бесконечное множество значений, выборочная совокупность содержит неполную информацию о законе распределения СВ .

По этой причине при оценке гипотезы H 0 может быть допущена ошибка. Вероятность ошибочного отклонения правильной нулевой гипотезы называют уровнем значимости. Обычно при проверке гипотезы уровень значимости  берут равным 0,001; 0,01; 0,05. Если уровень значимости взят 0,05, это значит, что примерно в 5% случаев может быть ошибочно отвергнута верная нулевая гипотеза.

Одним из методов статистической проверки гипотезы о законе распределения является критерий согласия  2 ( xu -квадрат). Опишем алгоритм проверки с помощью этого критерия гипотезы о нормальном распределении: F ( x )= F 0 ( x ).

В серии независимых испытаний получаем n значений СВ . Интервал , содержащий всю выборочную совокупность, разбиваем точками x 1  , x 2  , . x k -1  на k частичных интервалов. Статистический закон распределения СВ  записываем в форме таблицы, называемой интервальным статистическим рядом. В верхней строке таблицы выписываются частичные интервалы, в нижней - частоты m i - число значений СВ , попавших в соответствующий интервал.

Для каждого частичного интервала рассчитываем относительные частоты (частости) и строим гистограмму и полигон частостей. Исходя из вида гистограммы и полигона, а также механизма образования СВ , формулируем гипотезу о виде закона распределения. Если полигон по форме напоминает колокол и значения СВ  формируются под действием большого числа случайных факторов, приблизительно равнозначных по своему влиянию на рассеивание значений СВ , то есть основания (см. центральную предельную теорему) предположить нормальный закон распределения.

Допуская нормальное распределение СВ , находим точечные оценки его параметров
,
где - середины частичных интервалов.

Записываем предполагаемый вид функции распределения
.
Вычисляем теоретические частоты np i попадания значений СВ  в i -й частичный интервал, где . При этом полагаем ; . Получаем значение случайной величины, называемое  2 - статистикой Пирсона:
,
приближенно имеющей  2 - распределение с = k -3 степенями свободы. Чем точнее F 0 ( x ) воспроизводит закон распределения СВ , тем ближе теоретические частоты np i к эмпирическим m i и, следовательно, тем меньше

Из таблицы 2 - распределения по выбранному уровню значимости  и числу =k-3 выбираем значение , удовлетворяющее условию .

Сравниваем вычисленное значение  2 с табличным. Если  2  - в единственном испытании (результат испытания - вычисленное значение  2 ) произошло событие пренебрежимо малой вероятности. Поэтому следует усомниться в исходном предположении , давшем маловероятное событие в единственном испытании. Нулевая гипотеза отклоняется с вероятностью ошибки . Если  2 F 0 ( x ) согласуется с опытными значениями СВ .

Замечание. Число интервалов k и точки деления выбирают так, чтобы все теоретические частоты (кроме, может быть, крайних) удовлетворяли требованию np i 10. Это необходимо для того, чтобы обеспечить близость закона распределения  2 - статистики Пирсона к  2 - распределению. Если указанные неравенства не выполняются, следует либо выбрать новые точки деления, либо объединить некоторые соседние интервалы. При этом не следует брать очень крупные интервалы, чтобы вероятности p i достаточно точно отражали вид предполагаемой функции распределения.

Пример 33. Даны 100 значений температуры масла двигателя
БелАЗ при средних скоростях:

52 48 52 51 52 48 52 51 48 46 52 47

50 52 49 53 51 53 48 47 47 48 47 49

53 50 53 49 51 52 49 49 53 49 54 50

49 50 51 50 52 50 50 52 51 52 53 52

51 49 52 51 50 51 50 49 50 51 50 49

51 54 52 49
Требуется:
1) составить интервальные статистические ряды частот и частостей наблюденных значений непрерывной СВ ;
2) построить полигон и гистограмму частостей СВ ;
3) по виду гистограммы и полигона и исходя из механизмов образования исследуемой СВ  сделать предварительный выбор закона распределения;
4) предполагая, что исследуемая СВ  распределена по нормальному закону, найти точечные оценки параметров нормального распределения, записать гипотетичную функцию распределения СВ ;
5) найти теоретические частоты нормального распределения, проверить согласие гипотетической функции распределения с нормальным законом с помощью критерия согласия  2 (уровень значимости принять равным =0,05);
6) найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероятность принять равной =1–=0,95).

Решение. Температура масла в двигателе является непрерывной случайной величиной. Обозначим ее .

1). Для построения интервального статистического ряда выбираем наибольшее x max и наименьшее x min из имеющихся значений СВ : x max =56, x min =46.

Диапазон имеющихся значений разобьем на 6 частичных интервалов равной длины h (обычно число интервалов k выбирают в пределах от 5 до 15). Разбиение произведем так, чтобы x min было серединой первого частичного интервала, x max - серединой последнего
( k -го интервала). Очевидно, длина отрезка [ x min , x max ] будет равной ( k -1) h . Отсюда находим
.
Начальную точку берем равной x min – h /2=46–1=45. Получаем частичные интервалы [45, 47), [47, 49), [49, 51), . [55, 57). Подсчитываем для каждого интервала частоты m i и вычисляем частости , где n =100 - число выборочных значений СВ . Строим интервальный статистический ряд частот и частостей СВ .

Запишем закон распределения.

Математическое ожидание M ()= np =50,8=4;
дисперсия .

7.2. Закон распределения Пуассона

Суммируя их, получим: P (1 m 8)=0,96173>0,95, тогда как P (1 m 7)=0,93197 7.3. Равномерное распределение

Функция распределения показательного закона
(21)

Вероятность попадания в интервал ( a , b ) непрерывной СВ , распределенной по показательному закону:
. (22)

7.5. Нормальный закон распределения

или .Из таблицы значений функции ( x ) находим: . Отсюда получаем: n =6190 изделий.

8. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ
О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

Пример 33. Даны 100 значений температуры масла двигателя
БелАЗ при средних скоростях:

52 48 52 51 52 48 52 51 48 46 52 47

50 52 49 53 51 53 48 47 47 48 47 49

53 50 53 49 51 52 49 49 53 49 54 50

49 50 51 50 52 50 50 52 51 52 53 52

51 49 52 51 50 51 50 49 50 51 50 49

Решение. Температура масла в двигателе является непрерывной случайной величиной. Обозначим ее .

Читайте также: