Применение листа мебиуса в архитектуре
Добавил пользователь Владимир З. Обновлено: 19.09.2024
Бельгийский архитектор Винсент Каллебо для парка в Тайване разработал новое здание, которое напоминает ленту Мебиуса.
Сооружение имеет форму ласточкиного гнезда и начинается с треугольника, а затем закручивается в эллипс. Внутри строения можно полюбоваться растениями, предметами искусства или просто совершить прогулку.
Винсент Каллебо является ярым приверженцем архитектурной бионики и известен всему миру своими необычными проектам. Последний из них - плавучий остров Lilypad в форме лилии, способный вместить до 50 тысяч жителей, вызвал много дискуссий в экспертной среде.
Цель работы: исследовать поверхность листа Мёбиуса, его свойства и области применения листа Мёбиуса.
Для достижения цели поставлены следующие задачи:
В данной работе представлен результат исследования свойств листа Мёбиуса.
В ходе выполнения работы было создано обычное бумажное кольцо и лист Мёбиуса и выполнены ряд экспериментов над ними. Результаты экспериментов были проанализированы в сравнении и сделаны выводы об замечательных свойствах листа Мёбиуса.
В результате изучения и анализа различных источников информации обучающейся было собрано большое количество материала о применении листа Мёбиуса в различных сферах: науке и искусстве, в быту и в технике.
У данной исследовательской работы есть перспективы, так как с лентой Мёбиуса можно провести еще много различных экспериментов, которые помогут выявить еще различные свойства, которые применяются в практической деятельности человека.
ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ
Актуальность.
Одним из интересных объектов изучения топологии является лист Мёбиуса. В школьном курсе математики объекты топологии не изучаются. Впервые о листе Мёбиуса я узнала от учителя математики. Я заинтересовалась этим и решила расширить свои знания об этом геометрическом объекте
Новизна моей работы заключается в том, что ни я, ни обучающиеся моего класса ранее не занимались выявлением свойств Мёбиуса. Я провела анкетирование среди обучающихся моего 6А класса, 10 А класса и 9 Б класса и выявила, что многие не слышали об этом листе ничего и не знают его свойств.
Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.
Предмет исследования: свойства листа Мёбиуса.
Основные этапы исследования:
1 этап – постановка проблемы;
2 этап – анкетирование;
3 этап – изучение различных источников информации о листе Мёбиуса;
4 этап – проведение экспериментов;
5 этап – изучение и анализ литературы о применении свойств листа Мёбиуса в практической жизнедеятельности человека.
6 этап - представление результатов экспериментов и исследования в виде презентации.
Цель работы: исследовать поверхность листа Мёбиуса, его свойства и изучить области применения листа Мёбиуса.
Для достижения цели я поставила перед собой следующие задачи:
Гипотеза исследования. Лист Мёбиуса обладает неожиданными свойствами.
Вид проекта. Информационно-исследовательский.
Методы исследования:
- анкетирование;
- поисковый;
- аналитический;
- экспериментальный;
- описательный.
Введение
За последнее время большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новый раздел геометрии – топология. В наше время топология бурно развивается и находит применение в различных областях.
Геометрия – слово греческого происхождения, в переводе на русский язык означает землемерие. Геометрия делится на разделы:
Планиметрия - это раздел геометрии, рассматривающий объекты на плоской двумерной поверхности.
Стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Топология — раздел математики, изучающий: в самом общем виде — явление непрерывности; в частности — свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях.
У любого объекта как лист бумаги, кусок ткани, пластина, доска, как правило, две поверхности – наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? Да, это возможно. И таким листом является лист Мёбиуса.
Основная часть
1. А.Ф.Мёбиус и его удивительное открытие.
Август Фердинанд Мёбиус - немецкий математик и астроном-теоретик. Родился в городе Шульпфорте. Профессор Лейпцигского университета с 1816 года. Установил существование односторонних поверхностей (1858г.) одна из которых – Лист Мёбиуса. В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты.
2. Описание изготовление Ленты Мебиуса.
Лист Мебиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы изготовить лист Мебиуса, возьмём бумажную ленту ABCD. Прикладываем ее концы AB и CD друг другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка A совпала с точкой С, а точка B с точкой D. Перед склейкой перекручиваем ленту один раз (на 180°). Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо.
3. Эксперименты с листом Мёбиуса.
Для проведения экспериментов я изготовила несколько лент длиной 35см, шириной 5см. Чтобы понять, в чем особенность листа Мебиуса проводила опыты с обычным бумажным кольцом и листом Мебиуса.
Эксперимент 1
Закрасим полностью только одну сторону колец.
Обычное кольцо
Только одна сторона закрашена, а другая нет.
Лист Мёбиуса
Весь лист целиком закрашен.
Вывод: Вся поверхность ленты Мебиуса покрашена полностью. Лист оказался закрашенным полностью, а ведь мы его даже не переворачивали. Даже если бы хотели повернуть, то не смогли бы, потому что лист Мебиуса имеет только одну сторону. Лист Мёбиуса – односторонняя поверхность.
Эксперимент 2
Разрежем кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям
Обычное кольцо
Получилось два одинаковых кольца.
Лист Мёбиуса
Получилось одно большое перекрученное кольцо в виде восьмёрки.
Теперь выполним следующий эксперимент. В результате 2 эксперимента с листом Мёбиуса получилась перекрученное кольцо в виде восьмерки. Окрасим только одну сторону. В результате только одна сторона кольца и окрасилась.
Вывод: При подобном разрезании лист Мёбиуса утрачивает свои свойства.
Эксперимент 3
Разрежем кольца вдоль от края на 1/3 ширины кольца
Обычное кольцо
Получилось два кольца разной ширины.
Лента Мёбиуса
Два перекрученные сцепленные между собой кольца: диаметр первого кольца в два раза больше диаметра второго, ширина первого кольца в два раза меньше.
Теперь в рамках 3 эксперимента проведем следующий эксперимент: на полученных в результате разрезания ленты Мёбиуса двух кольцах поставим точку и проведем линию не прерываясь. Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне большого кольца. Значит, это кольцо не лист Мёбиуса. И непрерывная линия будет проходить по всей поверхности маленького второго кольца. Значит, это лист Мёбиуса.
Вывод: При подобном разрезании лист Мёбиуса не распадается на две отдельные части, а остается связным. Но при разрезании он теряет свое свойство односторонности.
Обычное кольцо
Закрашен только край кольца, второй край не закрашен.
Лента Мёбиуса
Линия края получилась непрерывно закрашенной на всём кольце.
Вывод: У листа Мебиуса не только одна сторона, но и один край.
Эксперимент 5
На внутренней поверхности стоит некто X, а по внешней поверхности идет в любую сторону некто Y.
Обычное кольцо
X и Y никогда не встретятся, не пересекая края.
Лист Мёбиуса
X и Y встретятся, не пересекая края в любом случае.
Вывод: Поверхность листа Мебиуса является односторонней и непрерывной.
Обычное кольцо
Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала.
Вторая остаётся чистой.
Лента Мёбиуса
Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.
Вывод: Поверхность листа Мёбиуса непрерывна.
Результаты экспериментов.
- Лист Мёбиуса имеет одну сторону (поверхность). Это подтверждают результаты 1,4,5 экспериментов.
- Лист Мёбиуса имеет один край. Результат 4 эксперимента.
- Если пустить по поверхности листа Мёбиуса движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго, т.е. поверхность непрерывна. Это подтверждают 5 и 6 эксперименты.
- Листу Мёбиуса присуще свойство – связность.
- Лист Мёбиуса, как и любая топологическая фигура, не меняет своих свойств, пока её не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски. Это подтверждают эксперименты 3 и 2.
Сферы применения листа Мёбиуса
Лента Мёбиуса – вовсе не абстрактная фигура, нужная лишь для целей математики, она нашла применение и в реальной повседневной жизни.
Лента Мёбиуса в быту.
Лопасти обычного бытового миксера и бетономешалки выполнены в виде ленты Мёбиуса.
Лента Мёбиуса в технике.
1) Шлифовальная лента. В 1969 году советский изобретатель А.Губайдуллин получил авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса. Срок работы шлифовальной ленты увеличился вдвое.
2) По принципу этой ленты функционирует в аэропорту лента, передвигающая чемоданы из багажного отделения. Такая конструкция позволяет ей служит дольше в связи с равномерным изнашиванием.
3) В метро ручка эскалатора – это лента Мёбиуса, это позволяет равномерно изнашиваться и продлевать срок действия резины.
4) Благодаря ленте Мёбиуса были созданы кассеты для магнитофона, которые давали возможность слушать их с двух сторон, не переворачивая.
5) Наконечник бура для скважин так же выполнен в форме ленты Мёбиуса.
6) Американские горки.
Лента Мёбиуса в искусстве и архитектуре.
Лента Мебиуса – широкое поле для Вдохновения
Сложно оценить важность значения открытия ленты Мебиуса, которое вдохновило не только большое множество ученых, но и писателей, художников, архитекторов.
1) Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера. На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности.
Художник черпал свои идеи из статей и трудов по математике, он был глубоко увлечен геометрией.
2) Библиотека в Казахстане.
4) В г.Минск напротив Национальной академии наук установлен также памятник ленте Мёбиуса.
Лента Мёбиуса и дизайн ювелирных украшений, одежды и обуви.
5) Лента Мёбиуса и гипотезы.
Молекула ДНК схожа с листом Мёбиуса?
Есть предположение, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому так сложно расшифровать генетический код. Более того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.
Существовала гипотеза, которую выдвинул советский цитолог Навашин, что форма кольцевой хромосомы по строению аналогична ленте Мебиуса. На эту мысль ученого натолкнул тот факт, что кольцевая хромосома, размножаясь, превращается в более длинное кольцо, чем в самом начале, или в два небольших кольца, но как в цепи продетых одно в другое, что очень напоминает выше описанные опыты с листом Мебиуса.
Вселенная замкнута в ленту Мёбиуса?
Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная, вполне вероятно, замкнута в ленту Мёбиуса. Согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль все время летящий прямо, может вернуться к месту старта. Это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.
Пока это всего лишь гипотезы, у которых есть как сторонники, так и противники. Кто знает, к какому открытию подведет ученых, казалось бы, такой простой объект, как Лента Мебиуса.
Заключение
Выполняя исследовательскую работу по изучению листа Мёбиуса, его свойств, я, прежде всего, узнала о знаменитом ученом, его жизни и истории его открытия. Мною было изучено и проанализировано большое количество информации.
Эксперименты я проводила с большим интересом. Таким образом, я узнала удивительные свойства листа Мёбиуса. Для меня это было открытием.
Изучая различные источники, я узнала о широком практическом применении листа Мёбиуса.
Выводы.
1. Лист Мёбиуса можно получить простым способом.
2. Лист Мёбиуса действительно удивительный. В этом я действительно убедилась, проводя эксперименты с листом Мёбиуса и обычным кольцом.
3. Свойства листа разнообразны. Они получены мной в результате экспериментов и были сравнимы со свойствами, описанными в математической литературе.
Практическая значимость проекта заключается в том, что я сумела получить интересный математический материал. Результаты своих экспериментов я представила сначала своим одноклассникам, а потом на школьном фестивале исследовательских проектов. Моя работа интересна любителям математики для расширения кругозора, ее можно использовать на внеклассных мероприятиях по математике.
Перспективы исследования. С листом Мёбиуса можно проводить еще много различных экспериментов. Я узнала лишь некоторые свойства листа и обязательно вернусь к этому вопросу и проведу еще не один эксперимент с удивительным листом Мёбиуса и планирую найти еще не исследованные сферы применения листа.
1 Научно-исследовательская работа Лист Мёбиуса Выполнил(а): Павлов Владимир сергеевич учащий(ая)ся 7 класса Муниципального казенного общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы 105 Купинского района Руководитель: Павлова Ирина Александровна, учитель математики и информатики и ИКТ МКОУ СОШ 105 Купинского района 2016 год. 1
2 Аннотация. Цель исследования: рассказать и показать, что на вид простая лента, повёрнутая на полоборота со склеенными концами, может заключать в себе много неожиданностей. Задачи: познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса; изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса; найти, где используются его свойства; провести опыты с листом Мёбиуса; выявить источники и литературу по данной теме и проанализировать их. Предмет исследования: лист Мёбиуса. Объект исследования: односторонние поверхности Гипотеза: доказать, что лист Мебиуса обладает необычными свойствами Методы: анализ, опыт, эксперимент, моделирование. Оглавление 2
3 Введение 4 Глава 1. Лист Мебиуса 4 1. История создания Листа Мёбиуса Что такое лист Мёбиуса? 5 3. Свойства листа Мёбиуса. 5 Глава 2. Применение листа Мебиуса 6 1. Применение листа Мёбиуса на производстве 6 2. Применение листа Мебиуса в архитектуре, скульптуре, искусстве 7 3. Применение листа Мебиуса в астрономии 10 Заключение 11 Список литературы 12 Приложение. Проведение опытов. 13 "Где начало того конца, которым оканчивается начало?" 3
6 красить перекрученную ленту в два цвета одним с внутренней стороны, а другим с внешней. Чтобы я не придумывал, мне это не удастся. Приложение Непрерывность На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой. Разрывов нет непрерывность полная. 3. Связность Любой удар ножом разделит яблоко на две части. А лист Мёбиуса? Если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. 4. Ориентированность Ориентированность свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение. Глава 2. Применение листа Мёбиуса 1. Применение листа Мёбиуса на производстве У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка. И это не случайно. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит Лента Мёбиуса. Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры ленты увеличивать нельзя? Несколько лет назад изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: размеры ленты увеличились вдвое. 6
7 А 18 лет назад ленточке нашли совсем другое применение- она стала выполнять роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно, взведенная пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мебиуса же, поправ все законы, направления срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках - ее нельзя перекрутить, как обычную- своего рода вечный двигатель. Такой же механизм пригодится и в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, обеспечив возвращение рулевого колеса в начальное положение в случае отсутствия обратной связи между рулем и управляемыми элементами. Такой стабилизатор можно скомпоновать прямо на валу рулевого колеса, что уменьшит нагрузки и упростит конструкцию. Есть фильтры, в которых жидкость пропускают сквозь ленту из фильтрующего материала. Постепенно эта лента засоряется, приходится её менять. На фильтр с лентой Мёбиуса тоже выдано авторское свидетельство. Есть авторское свидетельство и на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофонная пленка, соединенная таким образом, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мебиуса вдвое дольше, чем обычную. Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с двух сторон не меняя их местами. Скольких людей приводили в восторг аттракционы Американские горки. Лента Мебиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств. А всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты. Полоса ленточного конвейера выполняется в 7
8 виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса. 2. Применение листа Мебиуса в архитектуре, скульптуре и искусстве Проект библиотеки в Казахстане. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса. Там внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены! Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения. Вскоре в китайском городе Тайчанге появится необычный буддийский храм. Его неординарность заключается в том, что он примет форму знаменитой ленты Мебиуса. В этом случае она будет отражать основные принципы философии буддизма и идею реинкарнации. Авторами проекта выступили архитекторы из студии Miliy Design. В своей работе специалисты использовали современные методы цифрового проектирования. Стоит отметить, что с помощью таких методов развивается пространственная логика здания, уходящая корнями в бесформенность. Форма структуры позволяет внутренней и внешней поверхностям беспрепятственно встретиться в одной точке и развивается далее по спирали. Применяя такие технологии, здание буддийского храма может получить различные возможности. Изучая листы Мебиуса в различных конфигурациях, специалисты из Miliy Design стремились 8
11 Заключение В своей работе я описал лист Мёбиуса и процесс его изготовления, раскрыл опытным путём свойства этого поразительного открытия. Моё предположение подтвердилось: лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности, но и такими, действительно, неожиданными свойствами, как непрерывность и связность. Мы показали значение этого открытия в современном мире. Существует гипотеза о том, что спираль ДНК также имеет фрагмент ленты Мебиуса, в связи с чем, генетический код сложен для восприятия и расшифровки. Кроме того, подобная структура логично объясняет причину биологической смерти замыкающаяся сама на себя спираль приводит к самоуничтожению. Ученые-физики утверждают, что в основе всех оптических законов лежит принцип ленты Мебиуса. К примеру, отражение в зеркале является своеобразным переносом во времени, так как человек видит своего зеркального двойника перед собой. Математики сравнивают ленту Мебиуса со знаком бесконечности. Философы и астрономы, историки и психологи все они применяют в своих гипотезах небезызвестную ленту Мебиуса. Например, Альберт Эйнштейн считал, что вселенная замкнута в виде кольца, подобно ленте Мебиуса, а философами строятся целые теории, основанные на удивительных свойствах этого математического объекта. При изучении литературы я также узнал о том, что в трёхмерном пространстве существует аналог листа Мёбиуса - бутылка Клейна. Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса, представленного в работе, состоит в том, что он дал толчок новым исследованиям. Благодаря "ленте" был открыт новый раздел геометрии - топология. Математические исследования продолжаются и в наши дни. 11
13 Приложение 1 Опыт 1 Проведение опытов Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку. Обычное кольцо Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая остаётся чистой. Лист Мёбиуса Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке. Опыт 2 Закрасим полностью только одну сторону колец. Обычное кольцо Одна сторона закрашена, другая нет. Лист Мёбиуса Закрашенной оказалась весь лист целиком. Опыт 3 Закрасим непрерывной линией только один край колец Обычное кольцо Один край кольца закрашен, второй Лист Мёбиуса Линия края получилась, непрерывно край нет. закрашена на всём кольце. 13
14 Опыт 4 На внутренней поверхности стоит некто Х, а по внешней идёт в любую сторону некто У Обычное кольцо Лист Мёбиуса Х и У никогда не встретятся, не пересекая края края в любом Х и У встретятся, не пересекая случае. Опыт 5 Разрезание по середине Обычное кольцо Лист Мебиуса После разреза два обычных кольца После разреза одно перекрученное кольцо Опыт 6 Обычное кольцо После разреза 2 обычных кольца Разрезание на 2 неравные части Лист Мебиуса После разреза 2 перекрученных соединенных кольца 14
15 Опыт 7 Разрезание листа Мебиуса с двойным перекручиванием по середине После разрезания 2 сцепленных перекрученных листа Опыт 8 Разрезание листа Мебиуса с двойным перекручиванием на 2 неравные части После разрезания 2 сцепленных перекрученных кольца Вывод: количество перекрутов влияет на результат Опыт 9 Разрезание большего кольца из опыта 6 кру- После разрезания 2 сцепленных переченных больших кольца на маленьком До Опыт 10 Разрезание склеенных между собой листа Мебиуса и обычного кольца После 15
Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R 3 . Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.
Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности , так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса. (см. символ бесконечности).
Содержание
Свойства
Геометрия и топология
Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные так, чтобы направления стрелок совпали.
Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества является параметризация:
\cos\frac \right) \cos (u), " width="" height="" />
\cos\frac \right) \sin (u), " width="" height="" />
\sin\frac , " width="" height="" />
где и . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x - y с центром в . Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.
В цилиндрических координатах , неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:
Топологически лист Мёбиус может быть определен как факторпространство квадрата по отношению эквивалентности для .
Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью с слоем отрезок.
Подобные объекты
Существует распространённое заблуждение, что пересечённая крышка не может быть сформирована в трёх измерениях без самопересекающейся поверхности. На самом деле возможно поместить ленту Мёбиуса в с границей, являющейся идеальным кругом. Идея состоит в следующем — пусть C будет единичным кругом в плоскости xy в . Соединив антиподные точки на C , то есть, точки под углами θ и θ + π дугой круга, получим, что для θ между 0 и π / 2 дуги лежат выше плоскости xy , а для других θ ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости xy ).
Можно заметить, что если диск приклеивается к граничной окружности, то самопересечение получающейся сфера сплёнкой неизбежно в трёхмерном пространстве. В терминах задания сторон квадрата, как было показано выше, сфера с плёнкой получается склеиванием двух оставшихся сторон с сохранением ориентации.
Открытые проблемы
ОТВЕТ: Таких формул существует бесконечно много, см., напр., [1] .
Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Эта задача, впервые поставленная Садовским (M. Sadowsky) в 1930 году, была недавно решена, см. [2] . Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.
Искусство и технология
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Устройство под названием резистор Мёбиуса — это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.
Недавно архитектурный совет Казахстана подвел итоги открытого международного конкурса на лучший проект Национальной библиотеки. В конкурсе приняли участие 19 архитектурных бюро. Лучшим оказался проект, предложенный датской компанией BIG, во главе с архитектором Бьярке Ингельсом. Идея построить здание в виде гигантской ленты Мебиуса, со сложной внутренней организацией пространства, покорила жюри уникальностью, современностью, рационализмом и явной связью с принципами построения традиционных библиотечных комплексов.
Здание библиотеки общей площадью 33 000 квадратных метров будет построено в центре Астаны. Оно станет многонациональным культурным центром, хранилищем истории Казахстана и будет символизировать будущее страны и ее новой столицы.
Бьярке Ингельс
Архитектура объединяет четыре универсальные модели — круг, ротонду, арку и юрту. Архив библиотеки представляет собой круг зданий, с внешней и внутренней стороны окруженных светом и воздухом. С внешней стороны круга открывается панорамный вид на Астану, с внутренней — вид на внутренний двор библиотеки, освещенный естественным светом.
Планировка носит современный и рациональный характер. Часть зон расположены горизонтально, часть вертикально, часть по диагонали — музей, читальные залы, рестораны.
Библиотека задумана как сочетание утонченности и природы. Она будет интегрирована в контекст казахского равнинного ландшафта. Дизайн парка вокруг здания сам по себе будет являться своеобразной живой библиотекой, состоящей из деревьев, растений, камней и минералов.
Читайте также: