Для определения средней урожайности поля в 10000 га предполагается взять
Добавил пользователь Владимир З. Обновлено: 18.09.2024
Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием закон больших чисел.
Неравенства Чебышева.Если возможные значения ДСВ Х неотрицательны и существует ее математическое ожидание , то для любого числа справедливо первое неравенство Чебышева:
которое можно записать в другом виде:
Для СВ Х с математическим ожиданием и конечной дисперсией D(X) и для любого числа выполняются неравенства:
Неравенство (11) и (12) представляют собой различные формы записи второго неравенства Чебышева.
Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит менее 360 г.?
Случайную величину – вес клубня – обозначим через Х. По условию . Искомую вероятность оценим по формуле (10):
Задачи.
17.51. Среднее число молодых специалистов, ежегодно направляемых в аспирантуру, составляет 200 человек. Оценить вероятность того, что в данном году будет направлено в аспирантуру менее 220 молодых специалистов.
17.52. Оценить вероятность того, что при 3600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений 6 очков будет не меньше 900.
17.53. СВ Х имеет дисперсию .Какова вероятность того, что СВ Х отличается от не менее, чем на 0,1?
17.54. СВ Х имеет дисперсию .Какова вероятность того, что СВ Х отличается от не менее, чем на 0,2?
17.55. Для СВ Х известна дисперсия и неравенство
. Найти число а.
17.56. Среднее значение длины детали равно 50 см, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.
17.57. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Оценить вероятность того, что из посеянных 1000 семян число взошедших окажется от 700 до 800 включительно.
Теорема Чебышева.(Закон больших чисел.)Если случайные величины попарно независимы, имеют математическое ожидание и дисперсию, каждая из которых ограничена одним и тем же числом С, то для любого числа выполняется неравенство
В частном случае, когда все СВ имеют одно и то же математическое ожидание , неравенство принимает вид
Теорема Бернулли.Если m – число наступлений события А в n независимых испытаниях и р – вероятность наступления события А в каждом из испытаний, то для любого
Найти вероятность того, что частота появления шестерки в 10000 независимых подбрасываниях игрального кубика отклоняется от вероятности появления шестерки по модулю меньше, чем на 0,01. Решение.
В данном случае n = 10000, p = 1/6, q = 5/6. Воспользуемся теоремой Бернулли (14):
Задачи.
17.58. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.
17.59. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р = 0,7?
17.60. Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взяли на выборку по 1 квадратному метру с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю менее чем на 0,25 центнера.
17.61. Определить сколько надо произвести замеров поперечного сечения деревьев на большом участке, чтобы средний диаметр деревьев отличался от истинного значения а менее чем на 2 см с вероятностью не меньшей 0,95. Среднее квадратическое отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 10 см.
17.62. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Найти вероятность того, что при посеве 10000 семян отклонение доли взошедших семян от вероятности того, что взойдет каждое из них, не превзойдет по модулю 0,01.
Локальная теорема Лапласа.Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно раз, приближенно равна
Интегральная теорема Лапласа.Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна одной и той же постоянной р , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит не менее раз и не более раз, приближенно равна
Вероятность можно вычислить по формуле:
где - функция Лапласа.
Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз.
По условию , поэтому . Воспользуемся формулой (16), предварительно вычислив и по формуле (15):
Задачи.
17.63. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) 750 раз; б) 710 раз.
17.64. Вероятность появления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 710 раз и не более 740 раз.
17.65. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появления события А в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,5?
17.66. Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наугад 1000 лампочек. Оценить вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.
17.67. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.
17.68. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных будет не более 17?
17.69. Вероятность изготовления детали первого сорта на данном станке равна 0,8. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 100 деталей окажется 75 деталей первого сорта.
17.70.Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?
ОТВЕТЫ
17.1.0,2; ломаная А1А2А3А4А5, где А1(0,2;0,1), А2(0,4;0,2), А3(0,6;0,4), А4(0,8;0,2), А5(1;0,1)17.2. , , 17.3. , , , 17.4.D(X) = 1,2917.5.D(X) = 8,545; 17.6.0,0617.7.0,057917.8.а) 3 из 4; б) не менее 5 из 817.9.0,217.10.0,6317.11.0,14517.12.a) 1/4 б) 1/4 в) 15/16 17.13. 17.14.a) 0,591 б) 2 17.15. 17.16. , , , , 17.17. , , , , , , 17.18. 17.19. , , , , , 17.20. , , , , 17.21. , , , , ; M(X) = 1,2; 17.22.0,517.23.а)0 б)0,5 в)0 17.24.а) б)1/217.25.а) б) 17.26. ; M(X) = 2/3; 17.27.93,7%17.28.0,08817.29. 17.30.0,0478 17.31.9%17.32. ; M(X) = a
17.33.
| yi | 3 | 9 | 15 |
| pi | 0,4 | 0,1 | 0,5 |
17.34.
| yi | 1 | 4 |
| pi | 0,5 | 0,5 |
17.35.
| yi | 0 | 1 | 2 |
| pi | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
17.36.
| yi | 0 | 2 | 6 |
| pi | 0,5 | 0,3 | 0,2 |
17.37.
| yi | 0 | 1 | 4 | 9 |
| pi | 0,25 | 0,45 | 0,25 | 0,05 |
M(X) = 0,6; D(X) = 1,54; M(Y) = 1,9; D(Y) = 4,89
17.38. 17.39. 17.40. 17.41. 17.44.
| xi | 0 | 1 |
| pi | 0,45 | 0,55 |
M(X) = 0,55; D(X) = 0,2475
| yi | -1 | 0 | 1 |
| pi | 0,25 | 0,4 | 0,35 |
M(Y) = 0,1; D(Y) = 0,59; KXY = 0,055
17.45.
| xi | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 0,5 | 0,3 | 0,15 | 0,05 |
| yi | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,55 | 0,3 | 0,15 |
| yi | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pi | 0,3 | 0,4 | 0,24 | 0,06 |
17.51. 17.52. 17.53. 17.54. 17.55. 17.56. 17.57. 17.58. 17.59. 17.60. 17.61. 17.62. 17.63. 17.64. 17.65. 17.66. 17.67. 17.68. 17.69. 17.70. .
Задача 1. На основании следующих данных по двум с/х предприятиям определите насколько и в каком из них средняя урожайность зерновых выше.
Посевная площадь, га
Найдем среднюю урожайность по каждому предприятию с применением средней арифметической взвешенной. Взвешенная средняя учитывает различное значение отдельных вариантов в пределах совокупности и применяется, когда варианты имеют различную численность.
Таким образом, на предприятии 1 средняя урожайность зерновых выше на 3,895 ц/га.
Задача 2.
По данным таблицы найдите:
· Моду и медиану, используя частоты и частости;
· Дисперсию и среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации.
Решение
Мода – это чаще всего встречающийся вариант.
, где хмо – нижняя граница модального интервала,
iмо – величина модального интервала,
fмо,fмо-1,fмо+1 – частота модального, домодального и послемодального интервала
Медианой в статистике называется вариант, делящий численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части. Медиана ряда наблюдений может быть очень далека от типичной величины. Медиана имеет особое свойство – сумма отклонений членов ряда от медианы есть величина наименьшая.
, где хме – нижняя граница медианного интервала,
iмо – величина медианного интервала,
Sме-1 – сумма накопленных частот в домодальном интервале.
Для удобства часть вычислений занесём в таблицу:
Сначала вычислим моду и медиану через частоты:
Теперь вычислим значения моды и медианы через частости:
Вычислим среднее арифметическое взвешенное:
Можно сказать, что средняя арифметическая взвешенная, медиана и мода практически совпадают. В этом случае говорят, что данная группа симметрична.
Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц одной совокупности в один и тот же период или момент времени. Степень колеблемости отдельных значений признака от средней отражают следующие обобщающие показатели: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Дисперсия – средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической.
Среднее квадратическое отклонение () – корень квадратный из дисперсии. Это абсолютная мера вариации признака в совокупности.
Для сравнения величины вариации различных признаков и также для сравнения степени вариации одноименных признаков в нескольких совокупностях исчисляется относительный показатель вариации – коэффициент вариации. По величине этого коэффициента можно судить о степени вариации признаков. Чем больше величина коэффициента вариации, тем больше разброс значений признака вокруг средней, и тем исследуемая совокупность по своему составу менее однородна.
Найти величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всем массиве, и величину, которую следует принять за среднеквадратическое отклонение урожайности на всем массиве.
Найти доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключена средняя урожайность на всем массиве.
1) Относительные частоты будем находить по формуле: .
Строим гистограмму относительных частот:
2) Найдем среднюю урожайность на всем массиве:
3) Найти доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключена средняя урожайность на всем массиве.
По таблице распределению Стьюдента находим:
Доверительный интервал имеет вид:
Вычислить коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X .
| X | 37 | 39 | 42 | 44 | 49 | 48 | 48 | 39 | 40 | 34 |
| Y | 6 | 6 | 10 | 16 | 16 | 14 | 12 | 8 | 8 | 4 |
Коэффициент корреляции найдем по формуле: .
Уравнение регрессии найдем по формуле: .
Сделаем промежуточные вычисления в таблице:
| 37 | 6 | 1369 | 36 | 222 |
| 39 | 6 | 1521 | 36 | 234 |
| 42 | 10 | 1764 | 100 | 420 |
| 44 | 16 | 1936 | 256 | 704 |
| 49 | 16 | 2401 | 256 | 784 |
| 48 | 14 | 2304 | 196 | 672 |
| 48 | 12 | 2304 | 144 | 576 |
| 39 | 8 | 1521 | 64 | 312 |
| 40 | 8 | 1600 | 64 | 320 |
| 34 | 4 | 1156 | 16 | 136 |
| 420 | 100 | 17876 | 1168 | 4380 |
Найдем среднее выборочное:
Уравнение регрессии имеет вид:
© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.004)
На основании данных о посевной площади урожайности озимой ржи по хозяйству определите среднюю урожайность озимой ржи по хозяйству для каждого года.
Данные о посевной площади и урожайности озимой ржи по хозяйству.
| Отделение | 2006 г. | 2007 г. | ||
|---|---|---|---|---|
| Урожайность, ц/га | Посевная площадь, га | Урожайность, ц/га | Валовой сбор, ц | |
| 1-е | 18,5 | 380 | 21,3 | 8520 |
| 2-е | 20,2 | 520 | 23,5 | 11750 |
| 3-е | 23,7 | 600 | 24,4 | 14640 |
Решение:
Для вычисления средней урожайности озимой ржи в 2006 г. воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной:
Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака к сумме частот всех признаков. Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.
Вывод: Средняя урожайность озимой ржи в 2006 г. составила 21,17 ц/га.
Для вычисления средней урожайности озимой ржи в 2007 г. воспользуемся формулой средней гармонической взвешенной:
Вывод: Средняя урожайность озимой ржи в 2007 г. составила 23,3 ц/га.
Условие задачи взято из практикума: Общая теория статистики: практикум / С.А. Клещёва. – Пинск: ПолеcГУ, 2009. – 114 с.
Задача 1. В результате проверки 2 партий сыра перед отправкой его потребителям установлено, что в 1 партии высшего сорта было 3942 кг, что составляет 70,4% общего веса сыра этой партии. Во второй партии высшего сорта было 6520 кг., что составляет 78,6% общего веса сыра этой партии.
Определить процент сыра высшего сорта в среднем по 1 и 2 партии вместе.
удельный вес сыра высшего сорта, %
Средний процент сыра высшего сорта:
Ответ: процент сыра высшего сорта в среднем по 1 и 2 партии вместе составляет 75,3%.
Задача 2. Для изучения качества пряжи проведено обследование 100 одинаковых по массе образцов пряжи, в результате чего получены следующие результаты:
Группа образцов пряжи по крепости нити, г.
1. среднюю крепость нити;
Группа образцов пряжи по крепости нити, г.
Найдем среднюю крепость нити
Чаще всего встречаются нити с крепостью 180 г. (таких проб максимальное число – 40), следовательно
Группа образцов пряжи по крепости нити, г.
Накопленная частота превышает значение 50 с 4 интервала.
где xMe — нижняя граница медианного интервала;
iMe — ширина медианного интервала;
∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);
S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;
fMe — число наблюдений в медианном интервале.
Ответ: средняя крепость нити , ,
Имеются данные о распределении банков по величине полученной прибыли в год:
размер прибыли, млн. руб.
Определите средний размер прибыли одного банка, моду, медиану.
Найдем средний размер прибыли
Чаще всего встречаются банки с размером прибыли от 5,5 до 6,4 млн. руб.. (число таких максимальное– 6), следовательно
размер прибыли, млн. руб.
Накопленная частота превышает значение 10 с 3 интервала.
где xMe — нижняя граница медианного интервала;
iMe — ширина медианного интервала;
∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);
S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;
fMe — число наблюдений в медианном интервале.
Ответ: средний размер прибыли 6,52 млн. руб , ,
Имеются данные о посевной площади, урожайности и валовом сборе в двух районах области зерновых культур.
Читайте также: